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WICHTIGSTEN WISSENSCHAFTLICHEN ENTDECKUNGEN
Gruppentheorie. Geschichte und Wesen der wissenschaftlichen Entdeckung
Verzeichnis / Die wichtigsten wissenschaftlichen Entdeckungen Permutationsgruppen von Wurzeln wurden früher von Lagrange und behandelt Gauß. Aber das Verdienst dessen, der die wesentlichen Eigenschaften von Begriffen formuliert und sie auf die Lösung neuer und schwieriger Probleme angewendet hat, ist unbestreitbar. Dies wurde vom französischen Mathematiker Galois für den Begriff einer Gruppe getan. Erst nach seiner Arbeit wurde es zu einem Studienfach für Mathematiker. Évariste Galois (1811–1832) wurde in Bourg-la-Reine geboren. 1823 schickten ihn seine Eltern zum Studium an das Royal College in Paris. Hier interessierte er sich für Mathematik und begann, die Werke von Legendre, Euler, Lagrange und Gauß selbstständig zu studieren. Lagranges Ideen übernehmen Galois vollständig. Es scheint ihm, wie einst Abel, eine Lösung der Gleichung fünften Grades gefunden zu haben. Er unternimmt einen erfolglosen Versuch, die Polytechnische Schule zu betreten, aber die Kenntnis der Werke von Legendre und Lagrange reichte nicht aus, und Galois kehrte aufs College zurück. Hier lächelt das Glück zum ersten Mal - er trifft einen Lehrer, der sein Genie zu schätzen wusste. Richard verstand es, sich über die offiziellen Programme zu erheben, er war sich des Fortschritts der Wissenschaften bewusst und bemühte sich, den Horizont seiner Schüler zu erweitern. Richards Kommentare über Evariste sind einfach: "Er arbeitet nur in den höheren Bereichen der Mathematik." Tatsächlich erhielt Galois bereits im Alter von siebzehn Jahren die ersten wissenschaftlichen Ergebnisse. 1829 wurde seine Notiz „Proof of a Theorem on Periodic Continued Fractions“ veröffentlicht. Gleichzeitig präsentierte Galois der Pariser Akademie der Wissenschaften ein weiteres Werk. Sie hat sich bei Kosha verirrt. Galois versucht, wieder in die Polytechnische Schule einzutreten, und scheitert erneut. Bald darauf kam ein Ereignis hinzu, das den jungen Mann schockierte: Von politischen Gegnern gejagt, beging sein Vater Selbstmord. Das Unglück, das Evariste widerfuhr, wirkte sich unweigerlich auf ihn aus: Er wurde nervös und aufbrausend. Im Jahr 1829 trat Galois in die Normal School ein. Es bereitete Kandidaten auf den Lehrertitel vor. Hier schloss Evarist eine Studie zur Theorie algebraischer Gleichungen ab und reichte seine Arbeit 1830 beim Wettbewerb der Pariser Akademie der Wissenschaften ein. Sein Schicksal lag in den Händen des ständigen Sekretärs der Akademie – Fourier. Fourier beginnt, das Manuskript zu lesen, stirbt jedoch bald. Das zweite Manuskript verschwindet ebenso wie das erste. Im Leben von Galois ist eine Zeit voller wichtiger Ereignisse angebrochen. Er schloss sich den Republikanern an, trat der „Gesellschaft der Freunde des Volkes“ bei und trat in die Artillerie der Nationalgarde ein. Weil er sich gegen die Führung ausgesprochen hatte, wurde er von der Normal School ausgeschlossen. Am 14. Juli 1831 fand zum Gedenken an den nächsten Jahrestag des Sturms auf die Bastille eine Kundgebung der Republikaner statt. Die Polizei nahm viele Demonstranten fest, darunter auch Galois. Der Prozess gegen Galois fand am 23. Oktober 1831 statt. Er wurde zu 9 Monaten Gefängnis verurteilt. Galois setzte seine Forschungen im Gefängnis fort. Am Morgen des 30. Mai 1832 wurde Galois bei einem Duell in der Stadt Gentilly durch eine Kugel im Bauch tödlich verwundet. Er starb einen Tag später. Galois' mathematische Arbeiten, zumindest die erhaltenen, sind sechzig kleine Seiten lang. Nie zuvor hat ein Werk von so kleinem Umfang dem Autor einen so großen Ruhm eingebracht. 1832 entwirft Galois im Gefängnis ein Programm, das erst XNUMX Jahre nach seinem Tod veröffentlicht wird. Aber selbst zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts erregte es kein ernsthaftes Interesse und geriet bald in Vergessenheit. Erst moderne Mathematiker, die die Arbeit vieler Generationen von Wissenschaftlern fortführten, verwirklichten schließlich Galois' Traum. „Ich bitte meine Richter, zumindest diese paar Seiten zu lesen“, begann Galois seine berühmten Memoiren. Die Ideen von Galois waren jedoch so tiefgreifend und umfassend, dass es damals für jeden Wissenschaftler wirklich schwierig war, sie zu würdigen. "... Ich glaube also, dass die Vereinfachungen, die man durch die Verbesserung von Berechnungen erhält (wir meinen natürlich grundlegende Vereinfachungen, nicht technische), keineswegs unbegrenzt sind. Der Moment wird kommen, in dem Mathematiker algebraische Transformationen so klar vorhersehen können, dass sich der Zeit- und Papieraufwand für ihre sorgfältige Durchführung nicht mehr lohnt. Ich behaupte nicht, dass die Analyse über eine solche Voraussicht hinaus nichts Neues leisten kann, aber ich denke, dass ohne sie eines Tages alle Mittel vergebens sein werden. Rechnungen seinem Willen unterwerfen, mathematische Operationen gruppieren, lernen, sie nach dem Schwierigkeitsgrad einzuordnen, und nicht nach äußeren Vorzeichen – das sind die Aufgaben der Mathematiker der Zukunft, wie ich sie verstehe, das ist der Weg, den ich gehen will nehmen. Niemand verwechsle die von mir gezeigte Vehemenz mit dem Wunsch mancher Mathematiker, überhaupt auf Berechnungen zu verzichten. Anstelle algebraischer Formeln verwenden sie langatmige Argumente und fügen der Schwerfälligkeit mathematischer Transformationen die Schwerfälligkeit einer verbalen Beschreibung dieser Transformationen hinzu, wobei sie eine Sprache verwenden, die für solche Aufgaben nicht geeignet ist. Diese Mathematiker hinken hundert Jahre hinterher. Nichts dergleichen passiert hier. Hier mache ich analytische Analysen. Gleichzeitig werden die komplexesten heute bekannten Transformationen (elliptische Funktionen) nur als Spezialfälle betrachtet, sehr nützlich und sogar notwendig, aber immer noch nicht allgemein, so dass die Ablehnung weiterer breiterer Forschung ein fataler Fehler wäre. Es wird die Zeit kommen, wo die Transformationen, auf die in der hier skizzierten höheren Analyse verwiesen wird, tatsächlich durchgeführt und nach dem Schwierigkeitsgrad klassifiziert werden, und nicht nach der Art der hier auftretenden Funktionen. Hier ist auf die Worte „Gruppenmathematische Operationen“ zu achten. Galois meint damit zweifellos die Theorie der Gruppen. Zunächst einmal interessierten sich Galois nicht für einzelne mathematische Probleme, sondern für allgemeine Ideen, die die gesamte Kette von Überlegungen bestimmen und den logischen Gedankengang leiten. Seine Beweise basieren auf einer tiefen Theorie, die es Ihnen ermöglicht, alle bis dahin erzielten Ergebnisse zu kombinieren und die Entwicklung der Wissenschaft für lange Zeit zu bestimmen. Einige Jahrzehnte nach Galois' Tod nannte der deutsche Mathematiker David Hilbert diese Theorie „die Etablierung eines bestimmten Rahmens von Begriffen“. Aber egal, wie es genannt wird, es ist offensichtlich, dass es ein sehr großes Wissensgebiet abdeckt. „In der Mathematik, wie in jeder anderen Wissenschaft“, schrieb Galois, „gibt es Fragen, die in diesem Moment angegangen werden müssen. Eines der Probleme, an denen Évariste Galois arbeitete, war die Lösung algebraischer Gleichungen. Was passiert, wenn wir nur Gleichungen mit numerischen Koeffizienten betrachten? Schließlich kann es vorkommen, dass es zwar keine allgemeine Formel zur Lösung solcher Gleichungen gibt, aber die Wurzeln jeder einzelnen Gleichung in Radikalen ausgedrückt werden können. Was ist, wenn nicht? Dann muss es irgendein Zeichen geben, mit dem Sie feststellen können, ob diese Gleichung in Radikalen gelöst ist oder nicht? Was ist dieses Zeichen? Die erste Entdeckung von Galois war, dass er den Grad der Unsicherheit ihrer Bedeutungen reduzierte, das heißt, er stellte einige der „Eigenschaften“ dieser Wurzeln fest. Die zweite Entdeckung hängt mit der Methode zusammen, die von Galois verwendet wurde, um dieses Ergebnis zu erhalten. Anstatt die Gleichung selbst zu studieren, untersuchte Galois ihre "Gruppe" oder, bildlich gesprochen, ihre "Familie". "Eine Gruppe", schreibt A. Dalma, "ist eine Sammlung von Objekten, die bestimmte gemeinsame Eigenschaften haben. Nehmen wir zum Beispiel reelle Zahlen als solche Objekte. Die allgemeine Eigenschaft einer Gruppe reeller Zahlen ist diejenige, wenn zwei beliebige multipliziert werden Elemente dieser Gruppe erhalten wir auch eine reelle Zahl Anstelle von reellen Zahlen können die in der Geometrie untersuchten Bewegungen auf der Ebene als "Objekte" erscheinen; in diesem Fall ist die Eigenschaft der Gruppe, dass sie die Summe zweier beliebiger Bewegungen ist gibt wieder Bewegung. Wenn wir von einfachen Beispielen zu komplexeren übergehen, können wir als "Objekte" einige Operationen an Objekten auswählen. In diesem Fall wird die Haupteigenschaft der Gruppe sein, dass die Zusammensetzung von zwei beliebigen Operationen auch eine Operation ist. Galois untersuchte diesen Fall, betrachtete die zu lösende Gleichung, ordnete ihr eine bestimmte Gruppe von Operationen zu (leider können wir hier nicht erklären, wie das geht) und bewies, dass die Eigenschaften der Gleichungspiegeln die Charakteristika dieser Gruppe wider. Da verschiedene Gleichungen dieselbe Gruppe haben können, genügt es, anstelle dieser Gleichungen die ihnen entsprechende Gruppe zu betrachten. Diese Entdeckung markierte den Beginn der modernen Stufe in der Entwicklung der Mathematik. Aus welchen "Objekten" die Gruppe auch immer besteht: Zahlen, Bewegungen oder Operationen - sie alle können als abstrakte Elemente betrachtet werden, die keine spezifischen Merkmale aufweisen. Um eine Gruppe zu definieren, müssen nur die allgemeinen Regeln formuliert werden, die befolgt werden müssen, damit eine gegebene Menge von "Objekten" als Gruppe bezeichnet werden kann. Heutzutage nennen Mathematiker solche Regeln Gruppenaxiome, die Gruppentheorie besteht darin, alle logischen Konsequenzen dieser Axiome aufzulisten. Dabei werden immer mehr neue Eigenschaften entdeckt; indem sie sie beweisen, vertieft der Mathematiker die Theorie immer mehr. Wesentlich ist, dass weder die Objekte selbst noch die Operationen auf ihnen in irgendeiner Weise spezifiziert sind. Wenn danach beim Studium eines bestimmten Problems einige spezielle mathematische oder physikalische Objekte betrachtet werden müssen, die eine Gruppe bilden, dann kann man auf der Grundlage der allgemeinen Theorie ihre Eigenschaften vorhersehen. Die Theorie der Gruppen liefert daher greifbare Einsparungen an Mitteln; darüber hinaus eröffnet es neue Möglichkeiten für die Anwendung der Mathematik in der Forschungsarbeit. Die Einführung des Gruppenbegriffs bewahrte die Mathematiker vor der lästigen Pflicht, viele verschiedene Theorien zu berücksichtigen. Es stellte sich heraus, dass es nur notwendig war, die "Grundzüge" der einen oder anderen Theorie herauszugreifen, und da sie sich tatsächlich alle völlig ähnlich sind, reicht es aus, sie mit demselben Wort zu bezeichnen, und es wird sofort klar dass es sinnlos ist, sie getrennt zu studieren. Galois versucht, eine neue Einheit in den überwucherten mathematischen Apparat einzuführen. Bei der Gruppentheorie geht es in erster Linie darum, die Dinge in mathematischer Sprache zu ordnen. Die Gruppentheorie hatte ab Ende des XNUMX. Jahrhunderts großen Einfluss auf die Entwicklung der mathematischen Analyse, der Geometrie, der Mechanik und schließlich der Physik. Anschließend drang es in andere Bereiche der Mathematik ein – Lie-Gruppen tauchten in der Theorie der Differentialgleichungen auf, Klein-Gruppen in der Geometrie. Es entstanden auch Galileo-Gruppen in der Mechanik und die Gruppen Lorenz in der Relativitätstheorie. Autor: Samin D. K.
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