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WICHTIGSTEN WISSENSCHAFTLICHEN ENTDECKUNGEN
Grundsatz der Algebra. Geschichte und Wesen der wissenschaftlichen Entdeckung
Verzeichnis / Die wichtigsten wissenschaftlichen Entdeckungen „Der fundamentale Satz der Algebra in Form einer Aussage: Eine algebraische Gleichung hat so viele Wurzeln wie ihr Grad, angegeben von Girard und Descartes, - stellt in seinem Buch "In der Welt der Gleichungen" V.A. Nikiforowski. - Seine Formulierung, die darin besteht, dass ein algebraisches Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt aus reellen linearen und quadratischen Faktoren zerlegt wird, gehört zu d'Alembert und Euler. Euler berichtete erstmals in einem Brief an Nikolaus I. Bernoulli (1687–1759) vom 1. September 1742. Daraus folgte, dass die Wurzeln algebraischer Gleichungen mit reellen Koeffizienten zum Gebiet der komplexen Zahlen gehören. Der erste Beweis des Satzes wurde 1746 von d'Alembert (1717–1783) durchgeführt. d'Alemberts Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra war jedoch analytisch, nicht algebraisch. Der französische Mathematiker bediente sich damals noch nicht konkretisierter Analysisbegriffe wie der Potenzreihe, des Infinitesimal. Es überrascht nicht, dass der Beweis des Satzes mit Fehlern behaftet war und später vernichtender Kritik ausgesetzt war. Gaußund wurde dann vergessen. Euler machte einen neuen und bedeutenden Schritt beim Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Leonhard Euler (1707–1783) wurde in Basel geboren. Am Ende seiner Heimschulzeit wurde der dreizehnjährige Leonard von seinem Vater an die Universität Basel geschickt, um Philosophie zu studieren. An dieser Fakultät wurden unter anderem Elementarmathematik und Astronomie unter der Leitung von Johann Bernoulli studiert. Bernoulli bemerkte bald das Talent des jungen Zuhörers und begann, separat bei ihm zu studieren. Nach Erhalt eines Master-Abschlusses im Jahr 1723, nach einer Rede in lateinischer Sprache über die Philosophie von Descartes und NewtonAuf Wunsch seines Vaters begann Leonard, orientalische Sprachen und Theologie zu studieren. Aber er fühlte sich zunehmend zur Mathematik hingezogen. Euler begann, das Haus seines Lehrers zu besuchen, und zwischen ihm und den Söhnen Johann Bernoullis – Nikolai und Daniel – entstand eine Freundschaft, die in Leonards Leben eine sehr wichtige Rolle spielte. 1725 wurden die Bernoulli-Brüder eingeladen, Mitglieder der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften zu werden. Sie trugen dazu bei, dass Euler nach Russland zog. Eulers Entdeckungen, die dank seiner regen Korrespondenz oft schon lange vor der Veröffentlichung bekannt wurden, machen seinen Namen immer bekannter. Seine Position in der Akademie der Wissenschaften verbesserte sich 1727, er begann seine Arbeit im Rang eines Adjunct, also eines Junior-Akademikers, und 1731 wurde er Professor für Physik, also ordentliches Mitglied der Akademie. 1733 erhielt er den Lehrstuhl für Höhere Mathematik, den zuvor D. Bernoulli innehatte, der in diesem Jahr nach Basel zurückkehrte. Das Wachstum von Eulers Autorität spiegelte sich in einzigartiger Weise in den Briefen wider, die sein Lehrer Johann Bernoulli an ihn richtete. 1728 sprach Bernoulli „den gelehrtesten und begabtesten jungen Mann, Leonhard Euler“, 1737 „den berühmtesten und geistreichsten Mathematiker“ und 1745 „den unvergleichlichen Leonhard Euler, den Anführer der Mathematiker“. 1736 erschienen zwei Bände seiner analytischen Mechanik. Die Nachfrage nach diesem Buch war groß. Viele Artikel wurden zu verschiedenen Fragen der Mechanik geschrieben, aber es gab noch keine gute Abhandlung über die Mechanik. 1738 erschienen zwei Teile einer Einführung in die Arithmetik auf Deutsch und 1739 eine neue Musiktheorie. Ende 1740 ging die Macht in Russland in die Hände der Regentin Anna Leopoldovna und ihres Gefolges über. In der Hauptstadt hat sich eine alarmierende Situation entwickelt. Zu dieser Zeit beschloss der preußische König Friedrich II., das Gegründete wiederzubeleben Leibniz Gesellschaft der Wissenschaften in Berlin, seit vielen Jahren fast inaktiv. Durch seinen Botschafter in Petersburg lud der König Euler nach Berlin ein. Euler, der glaubte, dass "die Situation ziemlich unsicher erschien", nahm die Einladung an. In Berlin versammelte Euler zunächst eine kleine wissenschaftliche Gesellschaft um sich, wurde dann in die neu restaurierte Königliche Akademie der Wissenschaften eingeladen und zum Dekan der mathematischen Fakultät ernannt. 1743 veröffentlichte er fünf seiner Memoiren, vier davon über Mathematik. Eines dieser Werke ist in zweierlei Hinsicht bemerkenswert. Es zeigt einen Weg auf, rationale Brüche zu integrieren, indem man sie in Partialbrüche zerlegt, und außerdem wird der heute übliche Weg skizziert, lineare gewöhnliche Gleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten zu integrieren. Im Allgemeinen sind die meisten Werke Eulers der Analyse gewidmet. Euler vereinfachte und ergänzte ganze weite Teile der vor ihm begonnenen Analysis der Infinitesimalzahlen, der Integration von Funktionen, der Reihentheorie und der Differentialgleichungen so sehr, dass sie annähernd die Form erhielten, die ihnen bis heute weitgehend erhalten bleibt. Darüber hinaus begann Euler ein ganz neues Kapitel der Analysis – die Variationsrechnung. Diese Initiative wurde bald von Lagrange aufgegriffen und eine neue Wissenschaft entstand. Eulers Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra wurde 1751 in der Arbeit „Untersuchungen über imaginäre Wurzeln von Gleichungen“ veröffentlicht. Euler führte den algebraischsten Beweis des Theorems durch. Später wurden seine Hauptgedanken von anderen Mathematikern wiederholt und vertieft. Daher wurden Methoden zum Studium von Gleichungen zuerst von Lagrange entwickelt und wurden dann zu einem integralen Bestandteil der Galois-Theorie. Der Hauptsatz war, dass alle Wurzeln der Gleichung zum Körper der komplexen Zahlen gehören. Um diese Position zu beweisen, stellte Euler fest, dass jedes Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt aus reellen linearen oder quadratischen Faktoren erweitert werden kann. Werte von Zahlen, die nicht reell sind, "Euler nannte imaginär", schreibt Nikiforovsky, "und wies darauf hin, dass sie normalerweise als solche betrachtet werden, die paarweise reelle Zahlen in Summe und Produkt ergeben. Daher sind 2 m imaginär Wurzeln, dann ergibt dies m reelle Quadrate von Faktoren in der Polynomdarstellung Euler schreibt: „Deshalb sagt man, dass jede Gleichung, die nicht in reelle Primfaktoren zerlegt werden kann, immer reelle Faktoren zweiten Grades hat. Jedoch hat, soweit ich weiß, noch niemand die Wahrheit dieser Meinung streng genug bewiesen; Ich werde daher versuchen, ihm einen Beweis zu liefern, der ausnahmslos alle Fälle abdeckt." Das gleiche Konzept wurde von Lagrange vertreten, Laplace und einige andere Anhänger von Euler. Gauß stimmte ihr nicht zu. Euler formulierte drei Theoreme, die aus den Eigenschaften stetiger Funktionen folgen. 1. Eine Gleichung ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Wurzel. Wenn es mehr als eine solche Wurzel gibt, dann ist ihre Anzahl ungerade. 2. Eine Gleichung geraden Grades hat entweder eine gerade Anzahl reeller Wurzeln oder gar keine. 3. Eine Gleichung geraden Grades, bei der der freie Term negativ ist, hat mindestens zwei reelle Wurzeln unterschiedlichen Vorzeichens. Anschließend bewies Euler Sätze über die Zerlegbarkeit von Polynomen mit reellen Koeffizienten in lineare und quadratische reelle Faktoren ... Beim Beweis des Hauptsatzes stellte Euler zwei Eigenschaften algebraischer Gleichungen fest: 1) Eine rationale Funktion der Wurzeln der Gleichung, die für alle möglichen Permutationen der Wurzeln A unterschiedliche Werte annimmt, erfüllt eine Gleichung des Grades A, die Koeffizienten davon werden rational in Bezug auf die Koeffizienten der gegebenen Gleichung ausgedrückt; 2) Wenn die rationale Funktion der Wurzeln der Gleichung invariant ist (sich nicht ändert) in Bezug auf Permutationen der Wurzeln, dann wird sie rational in Bezug auf die Koeffizienten der ursprünglichen Gleichung ausgedrückt. P.S. Laplace gibt 1795 in Vorlesungen über Mathematik im Anschluss an Euler und Lagrange die Faktorisierung eines Polynoms zu. Gleichzeitig beweist Laplace, dass sie real sein werden. Somit bauten sowohl Euler als auch Lagrange und Laplace den Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra auf der Annahme der Existenz eines Faktorisierungskörpers eines Polynoms auf. Eine besondere Rolle bei den Beweisen des Hauptsatzes kommt dem „König der Mathematiker“ Gauß zu. Carl Friedrich Gauß wurde (1777–1855) in Braunschweig geboren. Er erbte von der Familie seines Vaters eine gute Gesundheit und von der Familie seiner Mutter einen hellen Intellekt. Im Alter von sieben Jahren trat Karl Friedrich in die Katharinenvolksschule ein. Im Jahr 1788 trat Gauß ins Gymnasium ein. Es wird jedoch keine Mathematik unterrichtet. Hier werden klassische Sprachen studiert. Gauß lernt gerne Sprachen und macht so große Fortschritte, dass er noch nicht einmal weiß, was er werden will – Mathematiker oder Philologe. Am Hof erfahren sie etwas über Gauß. 1791 wurde er Karl Wilhelm Ferdinand, Herzog von Braunschweig, vorgestellt. Der Junge besucht den Palast und unterhält die Höflinge mit der Kunst des Zählens. Dank der Schirmherrschaft des Herzogs konnte Gauß im Oktober 1795 an die Universität Göttingen gehen. Zunächst hört er Vorlesungen über Philologie und besucht fast nie Vorlesungen über Mathematik. Das heißt aber nicht, dass er sich nicht mit Mathematik beschäftigt. 1795 interessiert sich Gauß leidenschaftlich für ganze Zahlen. Im Herbst desselben Jahres zog Gauß nach Göttingen und verschlang die Literatur, die ihm zum ersten Mal in die Hände fiel, förmlich: die Werke von Euler und Lagrange. "Am 30. März 1796 kommt für ihn der Tag der schöpferischen Taufe. - schreibt F. Klein, - Gauß beschäftigt sich schon seit einiger Zeit mit der Gruppierung von Wurzeln aus der Einheit auf der Grundlage seiner Theorie der "ursprünglichen" Wurzeln. Und dann Eines Morgens beim Aufwachen wurde ihm plötzlich klar und deutlich klar, dass die Konstruktion eines Siebzehnecks aus seiner Theorie folgt ... Dieses Ereignis stellte einen Wendepunkt im Leben von Gauß dar. Er beschloss, sich nicht der Philologie, sondern ausschließlich der Philologie zu widmen zur Mathematik." Gauß‘ Werk wurde lange Zeit zu einem unerreichbaren Beispiel mathematischer Entdeckungen. Einer der Schöpfer der nichteuklidischen Geometrie, Janos Bolyai, nannte sie „die brillanteste Entdeckung unserer Zeit oder sogar aller Zeiten“. Aber es war schwer, diese Entdeckung zu verstehen! Dank Briefen an die Heimat des großen norwegischen Mathematikers Abel, der die Unlösbarkeit von Gleichungen fünften Grades in Radikalen bewies, wissen wir um den schwierigen Weg, den er beim Studium der Gaußschen Theorie zurückgelegt hat. Im Jahr 1825 schreibt Abel aus Deutschland: „Auch wenn Gauß das größte Genie ist, strebte er offensichtlich nicht danach, dass jeder dies auf einmal versteht …“ Gauß‘ Werk inspiriert Abel, eine Theorie zu entwickeln, in der „es so viele wunderbare Theoreme gibt.“ dass es einfach unmöglich ist, es zu glauben. Es besteht kein Zweifel, dass Gauß auch Galois beeinflusst hat. Gauß selbst bewahrte eine rührende Liebe zu seiner ersten Entdeckung fürs Leben. Am 30. März 1796, dem Tag, an dem das reguläre Siebzehndekagon gebaut wurde, beginnt Gauß‘ Tagebuch – eine Chronik seiner bemerkenswerten Entdeckungen. Der nächste Eintrag im Tagebuch erschien am 8. April. Darin wurde über den Beweis des quadratischen Reziprozitätssatzes berichtet, den er den „goldenen“ Satz nannte. Sonderfälle dieser Aussage sind nachgewiesen Farm, Euler, Lagrange. Euler formulierte eine allgemeine Vermutung, deren unvollständiger Beweis Legendre lieferte. Am 8. April fand Gauß einen vollständigen Beweis für Eulers Vermutung. Allerdings wusste Gauß noch nichts von der Arbeit seiner großen Vorgänger. Er ist den ganzen schwierigen Weg zum "Golden Theorem" alleine gegangen! Gauß machte zwei große Entdeckungen in nur 10 Tagen, einen Monat bevor er 19 wurde! Einer der überraschendsten Aspekte des „Gauss-Phänomens“ ist, dass er sich in seinen ersten Arbeiten praktisch nicht auf die Errungenschaften seiner Vorgänger stützte und in kurzer Zeit wiederentdeckte, was in anderthalb Jahrhunderten in der Zahlentheorie geleistet worden war Werke der größten Mathematiker. 1801 erschienen die berühmten „Arithmetischen Untersuchungen“ von Gauß. Dieses riesige Buch (mehr als 500 großformatige Seiten) enthält die wichtigsten Ergebnisse von Gauß. "Arithmetische Studien" hatten einen großen Einfluss auf die Weiterentwicklung der Zahlentheorie und Algebra. Die Gesetze der Reziprozität nehmen nach wie vor einen der zentralen Plätze in der algebraischen Zahlentheorie ein. Gauß hatte in Braunschweig keine Gelegenheit, sich mit der für die Arbeit an den Arithmetischen Untersuchungen notwendigen Literatur vertraut zu machen. Deshalb reiste er oft ins nahe gelegene Helmstadt, wo es eine gute Bibliothek gab. Hier verfasste Gauß 1798 eine Dissertation über den Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Gauß hinterließ vier Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra. Seine 1799 veröffentlichte Doktorarbeit widmete er dem ersten Beweis mit dem Titel "Ein neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale algebraische Funktion einer Invariablen in reelle Faktoren ersten und zweiten Grades zerlegt werden kann." Gauß versäumte es nicht, die Lücken in Euler zu beachten, und vor allem kritisierte er die Formulierung der Frage selbst, als die Existenz der Wurzeln der Gleichungen im Voraus angenommen wurde. Der erste Beweis von Gauß war, wie der von d'Alembert, ein analytischer. Im zweiten von ihm 1815 durchgeführten Beweis kehrte der berühmte Mathematiker noch einmal zur Kritik des Beweises des Fundamentalsatzes der Algebra mittels Argumentation zurück, wenn die Existenz der Wurzeln der Gleichung von vornherein vorausgesetzt wird. Gauß erläuterte im einleitenden Absatz die Notwendigkeit eines neuen Beweises: „Obwohl der Beweis der Faktorisierung einer ganzen rationalen Funktion, den ich in einer vor 16 Jahren veröffentlichten Denkschrift gegeben habe, an Strenge und Einfachheit nichts zu wünschen übrig lässt, ist er Es ist zu hoffen, dass Mathematiker es nicht für unerwünscht halten, dass ich auf diese äußerst wichtige Frage noch einmal zurückkomme und die Konstruktion eines zweiten, nicht weniger strengen Beweises unternehme, ausgehend von völlig anderen Prinzipien, auf rein analytischen Prinzipien. Es sollte beachtet werden, dass das, was Gauß die analytische Methode nennt, heute die algebraische Methode genannt wird. Für den Beweis verwendete Gauß die Konstruktion des Entwicklungskörpers eines Polynoms. Mehr als sechzig Jahre sind vergangen, als L. Kronecker auch das Gauß-Verfahren zur Konstruktion des Entwicklungskörpers eines beliebigen Polynoms verbesserte und weiterentwickelte. Anschließend gab Gauß zwei weitere Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra. Der vierte und letzte bezieht sich auf 1848. Das Hauptergebnis der Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra von Euler, Lagrange und Gauß, I.G. Bashmakov, war, dass "algebraische Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra gerade deshalb wertvoll sind, weil für ihre Implementierung neue tiefe Methoden der Algebra selbst entwickelt und die Kräfte bereits geschaffener Methoden und Techniken getestet wurden." Autor: Samin D. K.
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