Berechnung von Wechselstromkreisen. Enzyklopädie der Funkelektronik und Elektrotechnik

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In Stromkreisen können neben Widerständen mit einem gewissen Widerstand auch Induktivitäten und Kondensatoren enthalten sein. Bei Gleichstrom ist ihr Verhalten einfach und offensichtlich: Die Spule hat einen Widerstand, der normalerweise klein ist und dem Widerstand des Drahtes entspricht, mit dem sie umwickelt ist. Der Stromkondensator leitet nicht und sein Widerstand kann als unendlich groß angesehen werden ( Eine Ausnahme bilden Oxidkondensatoren, die einen geringen Leckstrom haben. Bei Wechselstrom verhalten sich diese Elemente völlig anders. Insbesondere tritt an den Spulenanschlüssen eine Induktions-EMK auf, und der Strom beginnt durch den Kondensator zu fließen, wodurch die Platten regelmäßig aufgeladen werden. Lassen Sie uns ausführlicher darüber sprechen.

Der Wechselstrom wird so genannt, weil er sich mit der Zeit kontinuierlich ändert. Es gibt viele verschiedene Arten von Wechselstrom, aber normalerweise haben wir es mit einem periodischen Prozess zu tun, der sich nach einem bestimmten Zeitintervall, der sogenannten Periode T, wiederholt. Der Kehrwert davon wird als Frequenz des Prozesses bezeichnet: f = 1 / T. Dies ist die Anzahl der Schwingungen oder Zyklen pro Sekunde.

Auch die Form der Schwingungen ist wichtig. Am besten lässt sich das mit einem Oszilloskop beobachten. Schwingungen können eine periodische Folge von Impulsen sein, rechteckig, dreieckig und im Allgemeinen alles, was Sie möchten. Es stellt sich jedoch heraus, dass jede komplexeste periodische Schwingung als Summe der einfachsten sinusförmigen Schwingungen mit den Frequenzen f, 2f, 3f usw. dargestellt werden kann. Die erste Schwingung mit der Frequenz f wird als Grundharmonische bezeichnet, die folgenden die zweite, dritte usw. Harmonische. Mathematisch wird dies als Fourier-Reihenentwicklung bezeichnet, und auf diese Weise wird am häufigsten der Durchgang komplexer Schwingungen durch verschiedene Funkschaltkreise analysiert. Zunächst beschäftigen wir uns mit Sinusschwingungen als Grundlage für jede komplexere Analyse.

Die sinusförmige (harmonische) Spannung wird durch die Funktion U = Umsin(ωt - φ0) beschrieben, deren Diagramm in Abb. dargestellt ist. elf.

Das Argument der Funktion ist die aktuelle Zeit t, abhängig davon, wie sich die Spannung U ändert. Die restlichen Werte dienen als Schwingungsparameter: Um – der Amplitudenwert der Spannung, oder einfach die Amplitude; ω = 2πf – Kreisfrequenz; φ0 - Anfangsphase. Um die Bedeutung dieser Parameter besser zu verstehen, ist in Abb. 12, a, b, c zeigt, wie sich Änderungen in Amplitude, Frequenz und Anfangsphase auf Schwingungen auswirken.

Wenn es um Wechselspannung oder Wechselstrom geht, meinen sie am häufigsten ihre effektiven (effektiven) Werte U, I gleich 0,7 (genauer gesagt 1 / √).2) auf der Amplitude Um, lm, also U = 0,7Um, I = 0,7lm. Berechnungen können sowohl mit Amplituden- als auch mit Effektivwerten durchgeführt werden, das Ergebnis wird natürlich in den gleichen Werten erhalten.

Es ist noch einmal zu beachten, dass dies nur für ein rein sinusförmiges Signal gilt. Signale unterschiedlicher Form weisen völlig unterschiedliche Beziehungen zwischen Amplitude, Mittelwert und Effektivwert auf. Bei einem Rechtecksignal sind beispielsweise die Amplitudenwerte von Spannung und Strom gleich den Effektivwerten, bei einem Signal in Form kurzer Impulse kann die Amplitude zehnmal größer sein als der Effektivwert. Der Mittelwert eines reinen Wechselstroms (ohne Konstantanteil) über eine Periode ist gleich Null.

Das Verhältnis zwischen Amplitude und Effektivwert eines nichtsinusförmigen Signals ändert sich, wenn es Stromkreise mit reaktiven Elementen durchläuft, was immer im Auge behalten werden muss. Achten Sie darauf, welche Werte die von Ihnen verwendeten Messgeräte anzeigen. Ein einfaches Beispiel für die Messung der Netzspannung: Ein Voltmeter eines magnetoelektrischen Systems, das auf einen Durchschnittswert reagiert, zeigt 0 an, ein Voltmeter eines elektromagnetischen Systems - einen Effektivwert von 220 V, ein Voltmeter mit Spitzendetektor - mehr als 300 V. Aber zurück zu den Berechnungen auf Wechselstrom.

Befinden sich im Stromkreis nur aktive Widerstände, erfolgt die Berechnung wie in Gleichstromkreisen nach dem Ohmschen Gesetz und den Kirchhoffschen Regeln. Eine andere Sache ist, wenn im Stromkreis Induktivitäten und Kondensatoren eingebaut sind. Hier ist die gewöhnliche Algebra nicht mehr geeignet und es müssen komplexe Zahlen verwendet werden.

Der Gesamtwiderstand des Induktors ist die Summe aus dem aktiven Widerstand des Drahtes und dem induktiven Widerstand der Wicklung. Letzterer weist charakteristische Merkmale auf: Erstens wächst er proportional zur Frequenz des Wechselstroms (bei Gleichstrom ist er gleich Null), und zweitens eilt die an ihm abgegebene Spannung dem Strom um 90° in der Phase voraus. Das Verhältnis des induktiven Widerstands der Spule zum Wirkwiderstand wird als Gütefaktor bezeichnet und liegt üblicherweise zwischen mehreren Einheiten bei Niederfrequenzspulen und mehreren Hundert bei Hochfrequenzspulen.

Kondensatoren haben typischerweise einen sehr hohen Qualitätsfaktor und ihre Kapazität ist umgekehrt proportional zur Frequenz. Die Spannung am Kondensator ist um 90° phasenverschoben zum Strom. Induktive und kapazitive Widerstände werden als reaktiv bezeichnet. Im Gegensatz zu aktiven Geräten wird bei ihnen keine Energie abgegeben, sondern sie kann sich nur in der Spule und dem Kondensator ansammeln und an den Stromkreis zurückgegeben werden. Aus diesem Grund sind Reaktanzen keine realen, sondern imaginäre Größen, und in Berechnungen wird ihrer Bezeichnung das Zeichen j = √ vorangestellt-1. Darüber hinaus werden alle algebraischen Operationen wie gewohnt unter Berücksichtigung der Regeln durchgeführt: 1/j = -j, j2 = -1.

Der Gesamtwiderstand des Stromkreises Z = r + jX enthält einen Realteil – den aktiven Widerstand r – und einen Imaginärteil – die Reaktanz X, und XL = jωL, XC – 1/jωC = – j/ωC. Der induktive Widerstand XL und der kapazitive Widerstand XC haben unterschiedliche Vorzeichen, was die Voreilung oder Verzögerung der Spannung an diesem Widerstand gegenüber dem Strom angibt. In manchen Fällen ist es nützlich, den Absolutwert oder den Impedanzmodul IZI=√ zu kennenr²+X².

Als Beispiel ermitteln wir den Gesamtwiderstand eines Stromkreises, der einen Widerstand, eine Induktivität und einen Kondensator enthält (Abb. 13): Z=r+jωL+1/jωC = r+j(ωL-1/jωC) = r+ jX.

Wir sehen, dass der Wirkwiderstand r nicht von der Frequenz abhängt, während der Blindwiderstand X davon abhängt, und zwar ganz erheblich. Auf Abb. 14 zeigt Diagramme, die zeigen, wie sich die induktive, kapazitive und Gesamtreaktanz des Stromkreises X mit der Frequenz ändert. Letztere verschwindet bei einer bestimmten Frequenz ω0 – der Resonanzfrequenz.

Bei der Resonanzfrequenz ist die induktive Reaktanz gleich der kapazitiven und ihre Vorzeichen sind unterschiedlich, sodass sie kompensiert werden. Leicht zu finden: ω0L = 1/ω0С; ω02 = 1/LC. Daraus ergibt sich die bekannte Thomson-Formel für die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises bestehend aus einer Spule und einem Kondensator: f0 = 1/(2π√LC).

Da es sich um die Schaltung handelt, ist es sinnvoll, einen weiteren wichtigen Parameter zu erwähnen – den Qualitätsfaktor der Schaltung. Es ist gleich dem Verhältnis des Moduls p der Reaktanz der Spule oder des Kondensators bei der Resonanzfrequenz (wo sie gleich sind) zum aktiven Widerstand r: Q = p / r. Wenn der Kondensator vernachlässigbare Verluste aufweist, was normalerweise der Fall ist, dann ist der Gütefaktor der Schaltung gleich dem Gütefaktor der Spule. Die Reaktanz bei der Resonanzfrequenz kann ermittelt werden, ohne die Resonanzfrequenz selbst zu berechnen: p = √L / C. Der Gütefaktor ist maximal (konstruktiv) und kann mehrere Hundert erreichen, wenn der Widerstand r nur der Widerstand des Spulendrahtes ist und keine zusätzlichen Widerstände in die Schaltung einbezogen werden.

Der Gesamtwiderstand des in Abb. gezeigten Stromkreises. 13 kann als Punkt im Koordinatensystem dargestellt werden, an dem aktive Widerstände entlang der horizontalen Achse und Blindwiderstände entlang der vertikalen Achse aufgetragen sind (Abb. 15).

So werden Zahlen üblicherweise auf der komplexen Ebene dargestellt. Bei niedriger Frequenz überwiegt die Kapazität (negative Reaktanz) im Stromkreis und der Punkt liegt deutlich unterhalb der horizontalen Achse (Fall ω→0). Bei der Resonanzfrequenz gilt Z = r und X = 0. Bei Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz liegt der Punkt oberhalb der horizontalen Achse (Fall ω-∞). Der Ort aller Punkte für verschiedene Frequenzen bildet eine vertikale gerade Linie, und bei jeder Frequenz ist es sehr einfach, den Impedanzmodul grafisch zu ermitteln, wie für einige Frequenzen ω>ω0 gezeigt.

Nun lassen sich die Schaltungsausgänge (siehe Abb. 13) an eine Wechselspannungsquelle U (Normsignalgenerator mit vernachlässigbarem Innenwiderstand) anschließen, deren Frequenz verändert werden kann (Abb. 16).

Der Strom im Stromkreis wird weiterhin nach dem Ohmschen Gesetz ermittelt: I = U/Z. Natürlich wird der Strom alternierend sein und die gleiche Frequenz wie die Quelle haben, und wenn U der Effektivwert der Spannung ist, dann ist I der Effektivwert des Stroms. Aber Z ist eine komplexe Größe! Auch der Stromwert wird komplex ausfallen, also die Phasenverschiebung des Stroms relativ zur angelegten Spannung.

Machen wir es einfacher: Teilen Sie die Spannung durch den Impedanzmodul und erhalten Sie den Strommodul: |l| =U/|Z|. Möchten Sie die Phase des Stroms kennen? Wir haben es bereits – das ist der Winkel <p im Diagramm in Abb. 15.

Tatsächlich eilt bei niedrigen Frequenzen der Strom durch die Kapazität der Spannung voraus (φ ist negativ), bei der Resonanzfrequenz φ = 0 eilt der Strom durch den induktiven Widerstand bei hohen Frequenzen der Spannung nach (φ ist positiv). Jetzt ist es für uns einfach, Resonanzkurven zu erstellen – die Werte der Amplitude (Abb. 17, a) und der Phase des Stroms (Abb. 17, b) in einem Serienresonanzkreis in Abhängigkeit von der Frequenz.

Frage zum Selbsttest. Zeichnen Sie (zumindest näherungsweise) die Spannung an der Spule und am Kondensator als Funktion der Frequenz in diesem Experiment auf (für die in Abb. 16 gezeigte Schaltung). Versuchen Sie auch, die Frage zu beantworten: Wie oft ist diese Spannung größer (oder kleiner) als die Generatorspannung mit einem Gütefaktor der Schaltung Q - 100? Die Antwort ist mit einer Genauigkeit von nur wenigen Prozent erforderlich.

Antwort. Die Schaltung besteht aus einem in Reihe geschalteten Generator, aktivem Widerstand, Induktivität und Kapazität. Um die Spannung an der Spule und am Kondensator zu ermitteln, muss der Strom im Stromkreis mit dem Widerstand dieser Elemente multipliziert werden. Bei der Resonanzfrequenz sind die Reaktanzen der Spule und des Kondensators gleich, haben aber entgegengesetzte Vorzeichen, sodass sie sich aufheben. Der Strom im Stromkreis beträgt U/r. Die Spannungen an der Spule UL und dem Kondensator Uc sind einander gleich, phasenverschoben und ergeben Up/r = UQ. Sie sind also bei der Resonanzfrequenz Q = 100-mal größer als die Generatorspannung.

Wenn die Frequenz abnimmt, nimmt der Strom im Stromkreis ab, und auch die Reaktanz der Spule nimmt ab, sodass die Spannung an der Spule UL gegen Null tendiert. Der kapazitive Widerstand nimmt zu, sodass die Spannung am Kondensator Uc nicht so schnell abnimmt und nicht gegen Null, sondern gegen die Generatorspannung U tendiert. Dies ist anhand der Schaltung in Abb. gut zu erkennen. 16 - Bei den niedrigsten Frequenzen ist die Kapazität viel größer als die induktive und aktive Kapazität, sodass fast die gesamte Spannung des Generators am Kondensator anliegt.

Mit zunehmender Frequenz (über die Resonanzfrequenz) nehmen der Strom im Stromkreis und die Kapazität ab und Uc tendiert gegen Null. Die Spannung an der UL-Spule tendiert aufgrund der Erhöhung ihrer Reaktanz nicht gegen Null, sondern gegen die Generatorspannung.

Die Diagramme der Frequenzabhängigkeit der Spannungen UL und UC ähneln dem Stromdiagramm (Abb. 17), jedoch sind die Seitenzweige der Diagramme im ersten Fall angehoben - rechts (im Hochfrequenzbereich). im zweiten Fall - links (im Niederfrequenzbereich), wie in Reis gezeigt. 61.

Autor: V.Polyakov, Moskau

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