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ENZYKLOPÄDIE DER FUNKELEKTRONIK UND ELEKTROTECHNIK Berechnung von RC-Filtern. Enzyklopädie der Funkelektronik und Elektrotechnik
Lexikon der Funkelektronik und Elektrotechnik / Anfänger Funkamateur Betrachten Sie frequenzselektive oder selektive Schaltungen, die eine Filterwirkung haben, d. h. Signale mit einigen Frequenzen passieren besser, mit anderen schlechter. Manchmal ist diese Eigenschaft von Schaltungen schädlich, beispielsweise bei hochwertigen Audiofrequenzverstärkern, bei denen eine möglichst große Bandbreite angestrebt wird. Und manchmal ist es beispielsweise bei Radioempfängern nützlich, wenn Sie aus der Masse der Signale von Radiosendern, die auf unterschiedlichen Frequenzen arbeiten, das Signal eines einzelnen Senders auswählen müssen, der auf einer Ihnen bekannten Frequenz sendet. Filterschaltungen (Filter) müssen unbedingt reaktive Elemente enthalten – Kapazitäten und/oder Induktivitäten, da der aktive Widerstand von Widerständen (im Idealfall) nicht von der Frequenz abhängt. In Wirklichkeit gibt es immer parasitäre Kapazitäten und Induktivitäten (Verkabelung, Leitungen, pn-Übergänge usw.), sodass sich fast jede Schaltung in gewissem Maße als Filter erweist, d. h. ihre Parameter hängen von der Frequenz ab. Betrachten Sie zunächst die einfachsten RC-Ketten. Auf Abb. 28a zeigt ein Diagramm eines einfachen Tiefpassfilters (LPF), der niedrige Frequenzen durchlässt und hohe Frequenzen dämpft.
Der Übertragungskoeffizient ist das Verhältnis K = Uout / Uin (genauer gesagt ist dies der Modul bzw. der Absolutwert des Übertragungskoeffizienten). Wir berechnen es anhand der Informationen, die wir bereits über Wechselstromkreise kennen. Der Strom im Stromkreis beträgt:
und die Ausgangsspannung ist gleich dem Spannungsabfall am Kondensator C:
Wir ersetzen den Strom, finden wir
Der Transmissionskoeffizient erwies sich als komplex. Dies bedeutet, dass die Ausgangsspannung des Filters gegenüber der Eingangsspannung phasenverschoben ist. Um die komplexe Natur von K hervorzuheben, wird es oft als K(jω) bezeichnet. Finden wir den Modul (Absolutwert) und das Argument (Phase) K
Sowohl der Modul als auch die Phase der Verstärkung sind frequenzabhängig oder werden als Funktionen der Frequenz bezeichnet. Das negative Vorzeichen des Arguments zeigt an, dass die Phase des Ausgangssignals der Phase des Eingangssignals nacheilt. Wenn Sie ihre Diagramme erstellen, erhalten Sie die Amplituden-Frequenz- und Phasen-Frequenz-Eigenschaften des Filters (AFC und PFC), wie in Abb. 28,6 bzw. Der Filter funktioniert wie folgt. Bei den niedrigsten Frequenzen ist die Kapazität des Kondensators groß und das Signal wird nahezu ohne Dämpfung vom Eingang zum Ausgang über den Widerstand R übertragen. Mit zunehmender Frequenz sinkt die Kapazität und die Schaltung fungiert als Spannungsteiler. Bei der Grenzfrequenz ωc ist die Kapazität gleich dem aktiven Widerstand und ωcRC = 1. Der Modul K ist jedoch nicht gleich 1/2, wie es bei aktiven Widerständen der Fall wäre, sondern beträgt 1/V2 = 0,7, wie aus dem Vektorspannungsdiagramm (Abb. 28d) ersichtlich ist. Die durch die Kette bei der Grenzfrequenz eingeführte Phasenverschiebung beträgt 45°, was angibt, wie viel die Phase des Ausgangssignals hinter der Phase des Eingangssignals zurückbleibt. Bei weiterer Frequenzerhöhung sinkt der Verstärkungsmodul proportional zur Frequenz und die Phasenverschiebung tendiert zu -90°. Um Berechnungen zu vereinfachen, wird häufig die Notation RC = τ eingeführt. (Kettenzeitkonstante), ωRC = ω/ωc = x (allgemeine Frequenz). Der Transmissionskoeffizient wird in diesen Notationen ganz einfach geschrieben:
Es empfiehlt sich, erst nach Abschluss aller Berechnungen zur vorherigen Notation zurückzukehren. In unserer Analyse sind wir stillschweigend davon ausgegangen, dass der Stromkreis von einem Generator mit sehr niedrigem Innenwiderstand gespeist wird und sein Ausgang durch nichts belastet wird. In Wirklichkeit hat die Signalquelle immer einen gewissen Innenwiderstand R1, und wenn sie aktiv ist, müssen Sie ihn nur zu R addieren. Wenn die Last eine Kapazität Cn hat, müssen Sie diese nur zu C hinzufügen. Wenn die Last hat einen aktiven Widerstand RH, dann ist das Modul K bereits bei den niedrigsten Frequenzen, wo der Effekt der Kapazität vernachlässigt werden kann, kleiner als eins und wird (wir betrachten einfach nach dem Ohmschen Gesetz) RH / (R + RH) . Auch die Grenzfrequenz verschiebt sich nach oben und beträgt, wie sich auf die oben beschriebene Weise leicht berechnen lässt, nicht mehr
wobei R' der Widerstand ist, der durch Parallelschalten von R und Rn erhalten wird. Hier ist ein Beispiel für die praktische Anwendung der präsentierten Informationen. Der Videoverstärker des Fernsehgeräts sollte ein Frequenzband von 6 MHz durchlaufen und arbeitet mit einer kapazitiven Last, die aus der Ausgangskapazität des Transistors C, der Montagekapazität C und der Zwischenelektrodenkapazität des Steuergitters der Bildröhre Sk besteht ( Abb. 29, a). Ihre Summe kann mit jedem Kapazitätsmesser (natürlich bei ausgeschaltetem Fernseher!) oder anhand von Referenzdaten geschätzt werden. Sei es 25 pF – das ist die Kapazität der betrachteten RC-Kette. Der Widerstand R der Schaltung ergibt sich durch Parallelschaltung des Innenwiderstands des Transistors (Signalgenerator) und des Lastwiderstands Rn. Die erste lässt sich aus den Kollektoreigenschaften des Transistors ermitteln, indem man ein kleines Inkrement ΔUk in der Nähe der Betriebskollektorspannung Uk nimmt und das entsprechende Strominkrement ΔIk ermittelt
Normalerweise ist der Innenwiderstand viel größer als der Lastwiderstand, dann können wir R = Rn annehmen. Den zulässigen Lastwiderstand ermitteln wir anhand der Blockierung des Frequenzgangs bis zu 0,7 (um 3 dB) bei einer Frequenz von 6 MHz. Die Winkelfrequenz der Grenzfrequenz beträgt
(zusammenfassen). Da RC = 1 /ωс,
Natürlich würden wir gerne einen größeren Lastwiderstand wählen, der die Verstärkung erhöht und den vom Transistor verbrauchten Strom reduziert, aber das ist nicht möglich, da die oberen Frequenzen des Videospektrums blockiert werden, was zu Verlusten führt Bildklarheit.
Lassen Sie uns aus Interesse mit der Berechnung fortfahren. An das Bildröhrengitter soll ein Signal mit einer Amplitude von bis zu 50 V angelegt werden, dann sollte der Transistorstrom 50 mA betragen. Am Lastwiderstand fallen ebenfalls 50 V ab, die Versorgungsspannung muss mindestens 100 V betragen und am Lastwiderstand werden 50 V - 50 mA = 2,5 W abgegeben. Die gleiche Leistung wird im Transistor verbraucht. Die Belastungskennlinie für diesen Fall ist in Abb. dargestellt. 29,b, zusammen mit Spannungs- und Stromdiagrammen (die im Fernsehen selten sinusförmig sind). Jetzt sollte klar sein, warum die Ausgangsstufe des Videoverstärkers auf einem leistungsstarken Transistor basiert und ein leistungsstarker Widerstand in der Last platziert ist, obwohl die Bildröhre über den Steuerelektroden-(Gitter-)Stromkreis keinen Strom verbraucht. Um die Situation irgendwie zu verbessern, wurden viele Wege erfunden. Eine davon besteht darin, den Frequenzgang zu korrigieren, indem eine Spule mit einer kleinen Induktivität in Reihe mit der Last eingeschaltet wird (Abb. 29, a), die so ausgewählt ist, dass sie mit der Gesamtkapazität C irgendwo bei der Grenzfrequenz oder etwas höher in Resonanz steht. Der resultierende Schwingkreis mit einem sehr niedrigen Gütefaktor (nicht mehr als 1...1.5) trägt zum Anstieg des Frequenzgangs nahe der Grenzfrequenz bei. Auf Abb. In 29 zeigt die durchgezogene Linie den Frequenzgang des Verstärkers vor der Korrektur, entsprechend dem Frequenzgang einer einfachen RC-Schaltung, und die gestrichelte Linie zeigt nach dem Einschalten der Induktivität. Dadurch wird die Bandbreite der übertragenen Frequenzen um das 1,5 ... 2-fache erweitert bzw. Verstärkung und Effizienz der Kaskade um den gleichen Betrag erhöht. Die oben beschriebene Einengung der Bandbreite erfolgt in jeder Verstärkerstufe, was bei der Auslegung mehrstufiger Verstärker berücksichtigt werden muss. Beispielsweise sollte bei zwei identischen Kaskaden die Blockierung des Frequenzgangs in jeder nicht mehr als 0,84 (0,842 = 0,7) betragen, bei drei nicht mehr als 0,89. Manchmal werden vor allem bei Videoverstärkern „kleine Tricks“ angewendet: Die Vorstufe, bei der sowohl die Zwischenelektrodenkapazitäten als auch der Ausgangsspannungshub kleiner sind, wird breitbandig ausgelegt, wobei ein Anstieg des Frequenzgangs bei hohen Frequenzen dies ausgleicht die Blockade im Frequenzgang in der Ausgangsstufe. Die beschriebene Kette (siehe Abb. 28, a) wird im Hinblick auf ihre Frequenzeigenschaften als Tiefpassfilter bezeichnet und im Hinblick auf den Durchgang eines gepulsten Signals auch als integrierend. Lassen Sie am Eingang der Schaltung einen Spannungsabfall mit einer kurzen Flanke wirken (Abb. 30). Die Ausgangsspannung steigt nicht sofort an, da der Kondensator Zeit benötigt, um durch den durch den Widerstand R begrenzten Strom aufgeladen zu werden.
Nur im ersten Moment nach dem Aufprall des Abfalls ist der Strom gleich UBX / R und nimmt dann ab, wenn die Spannung am Kondensator zunimmt. Indem wir eine Differentialgleichung für die Ausgangsspannung aufstellen und lösen, können wir dies feststellen
wobei e die Basis des natürlichen Logarithmus ist. Während der Zeit τ = RC steigt die Ausgangsspannung auf etwa das 0,63-fache des Eingangswertes an und nähert sich diesem dann asymptotisch an. Somit „überwältigt“ die Integrationskette die steilen Flanken des Signals, was übrigens den Rückgang der Klarheit des Fernsehbildes erklärt. Kommen wir zu den Hochpassfiltern (HPF), von denen der einfachste (differenzierende RC-Kette) in Abb. 31 dargestellt ist. XNUMX, a. Der Übertragungskoeffizient wird nun ausgedrückt als:
Der Frequenzgang der Kette ist in Abb. dargestellt. 31b. Die Formel für die Grenzfrequenz bleibt dieselbe. Auch der Phasengang ist derselbe, allerdings ändert sich das Vorzeichen von f – die Phase des Ausgangssignals liegt vor der Phase des Eingangs. Bei den niedrigsten Frequenzen liegt er nahe bei 90° und geht bei hohen Frequenzen gegen Null (es reicht aus, den Graphen von Abb. 28c entlang der φ-Achse um 90° nach oben zu verschieben). Tatsächlich werden alle Ausdrücke für den HPF aus den Formeln für den HPF erhalten, wenn die verallgemeinerte Frequenz x durch -1/x' ersetzt wird, was bei der Berechnung von Filtern sehr häufig verwendet wird. Die Impulsantwort der Kette ist in Abb. dargestellt. 32. Es ist sozusagen das Gegenteil des Vorhergehenden – die Ausgangsspannung steigt schlagartig an, fällt dann aber entsprechend der Ansicht nach einem Exponentialgesetz ab. Über eine Zeit gleich der Zeitkonstante der Kette t, it sinkt auf den Eingabewert 0,37, im nächsten Intervall t wieder auf 0,37 und so weiter (übrigens ist dies eine gute Regel für die Darstellung von Exponentialfunktionen – bei jeder horizontalen Unterteilung sollte die vertikale Koordinate der Kurve um den gleichen Prozentsatz steigen oder fallen ). Fast jede RC-Kette zwischen den Stufen ist ein beschriebener HPF. Auch wenn kein expliziter Widerstand R vorhanden ist, handelt es sich um den Eingangswiderstand der hinter dem Koppelkondensator geschalteten Kaskade. Berücksichtigt man außerdem, dass die parasitäre Kapazität am Ausgang der Kaskade einen Hochpassfilter bildet, dann wird deutlich, dass jede Verstärkungskaskade die Bandbreite der übertragenen Frequenzen sowohl von unten als auch von oben begrenzt, also so ist ein Bandpassfilter. Bei Rechteckimpulsen, die die Verstärkungsstufe durchlaufen, werden steile Fronten geglättet (LPF-Wirkung) und die Spitze kollabiert (HPF-Wirkung). Um die Filterwirkung von RC-Gliedern zu erhöhen, werden mehrere von ihnen nacheinander eingeschaltet und um eine Überbrückung der nächsten Schaltkreise auszuschließen, werden sie durch zwischengeschaltete Verstärkungsstufen auf Transistoren getrennt. Manchmal werden für den gleichen Zweck nachfolgende Ketten mit großem Widerstand ausgewählt. Allerdings ist der Frequenzgang der Filter im Bereich der Grenzfrequenz ohnehin sehr flach. Aktive Filter ermöglichen die Korrektur der Situation, in der das verstärkende Element (Transistor) selbst als Filterelement dient. Auf Abb. 33 ist ein Diagramm eines aktiven Tiefpassfilters (Sallena-Key). Das darin enthaltene aktive Element muss eine Verstärkung von Eins haben und darf das Signal nicht invertieren. Darüber hinaus sind hohe Eingangs- und niedrige Ausgangsimpedanzen erforderlich. Diese Anforderungen werden durch einen Emitterfolger (Source-Folger) auf einem Transistor oder (besser) einem Operationsverstärker erfüllt, dessen invertierender Eingang mit dem Ausgang verbunden ist. Widerstände werden normalerweise mit dem gleichen Widerstandswert ausgewählt und die Kapazität des Kondensators C2 ist 2 ... 2,5-mal kleiner als die Kapazität von C1. Grenzfrequenz des Filters
Der Filter funktioniert so. Bei Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz der RC-Glieder wiederholt sich die Ausgangsspannung praktisch der Eingangsspannung und der Kondensator C1 wird von der Arbeit abgeschaltet, da seine beiden Platten das gleiche Potenzial haben. Das Signal wird ohne Dämpfung übertragen. Mit zunehmender Frequenz wird die RC2-Schaltung aktiviert und die Ausgangsspannung sinkt. Dann kommt auch die RC1-Schaltung ins Spiel, die das Ausgangssignal weiter dämpft. Dadurch entsteht ein steiler Abfall des Frequenzgangs oberhalb der Grenzfrequenz. Durch Ändern des Verhältnisses der Kapazitäten C1 und C2 können Sie einen gleichmäßigen und monoton abfallenden Frequenzgang innerhalb des Durchlassbereichs erhalten (Butterworth-Filter) und sogar einen gewissen Anstieg vor der Grenzfrequenz erzielen (Chebyshev-Filter). Nachdem sich ein solcher Anstieg gebildet hat (Kurve 1 in Abb. 34), empfiehlt es sich, eine weitere passive Verbindung hinzuzufügen (Kurve 2), die den Anstieg ausgleicht und die Steigung des Frequenzgangs hinter der Grenzfrequenz noch steiler macht (Kurve 3). ) - |K| verringert sich bei Verdoppelung der Frequenz um den Faktor 8. Das Ergebnis ist ein Filter dritter Ordnung mit einer Flankensteilheit von 18 dB pro Oktave. Als Beispiel in Abb. 35 zeigt ein Diagramm eines solchen Tiefpassfilters mit einer Grenzfrequenz von 3 kHz. Es ist einfach, den Filter auf andere Frequenzen abzustimmen, indem man die Werte aller Kapazitäten umgekehrt proportional zur Frequenz ändert. Ein HPF mit ähnlichen Eigenschaften erhält man, indem man die Widerstände und Kondensatoren austauscht und ihre Nennwerte entsprechend ändert. Zur Reihenfolge der Filter: Sie wird durch die Anzahl der reaktiven Filterelemente bestimmt, und die Steigung des Frequenzgangs hängt von der Reihenfolge ab. Die Verbindungen erster Ordnung (Abb. 28, a und 31, a) ergeben also eine Signaldämpfung um das Zweifache bei einer doppelten Frequenzänderung (2 dB / Okt.), der Filter zweiter Ordnung (Abb. 6) - um 33-fach (4 dB/Okt.). Okt.), Filter dritter Ordnung (Abb. 12) - 35-fach (8 dB/Okt.).
Frage zum Selbsttest. Einige hochwertige (Band 20 Hz ... 20 kHz) 3H-Verstärker haben eine Eingangsimpedanz von 100 kOhm, die Signalquelle hat die gleiche Ausgangsimpedanz. Die Verbindung erfolgt über ein abgeschirmtes Kabel mit einer linearen Kapazität von 100 pF/m. Die Kabellänge beträgt 3,2 m. Zusätzlich ist am Verstärkereingang ein 0,01 μF Isolationskondensator enthalten. Wurde alles richtig gemacht, welches Frequenzband wird es tatsächlich sein und was sollte getan werden, um die Situation zu korrigieren? Antwort. Zeichnen wir eine Ersatzschaltung (Abb. 63), die eine Signalquelle G1 mit einem Innenwiderstand r, ein Kabel mit einer Kapazität C1, einen Koppelkondensator C2 und die Eingangsimpedanz des Verstärkers R1 enthält.
Die oberen Frequenzen werden durch die Kapazität des Kabels gedämpft, parallel zu dem der Eingangswiderstand R1 und der Innenwiderstand der Signalquelle r geschaltet sind. Der Isolationskondensator C2 hat bei hohen Frequenzen einen vernachlässigbaren Widerstand und kann ignoriert werden. Durch die Parallelschaltung zweier 100-kΩ-Widerstände ergibt sich ein Gesamtwert von 50 kΩ. Die Kapazität des Kabels C1 beträgt 100 pF/m x 3,2 m = = 320 pF. Mit der Formel fc= 1/2πRC ermitteln wir die obere Frequenz der Bandbreite: fB = 1/6,28 320 10-12-50 103 = 104 Hz = 10 kHz. Um ihn auf 20 kHz zu erhöhen, müssen Sie entweder das Kabel um die Hälfte kürzen oder ein Kabel mit der halben linearen Kapazität wählen oder die Ausgangsimpedanz der Signalquelle auf etwa 30 kΩ senken, sodass der Gesamtwiderstand parallel zum Kabel geschaltet ist beträgt nicht 50, sondern 25 kΩ. Letzteres Verfahren ist vorzuziehen, da dadurch auch die Spannung am Eingang des Verstärkers erhöht wird. Wenn nämlich die Widerstände der Signalquelle und des Verstärkers gleich sind, beträgt sie die Hälfte der EMF der Quelle, und wenn der Widerstand der Signalquelle auf 30 kOhm sinkt, erreicht er 75 % der EMF der Quelle. Aus diesem Grund werden am Ausgang von Signalquellen, die über lange Verbindungskabel betrieben werden, häufig Kathoden-, Emitter- oder Sourcefolger mit niedriger Ausgangsimpedanz installiert. Berechnen wir nun die untere Grenzfrequenz des Durchlassbandes. Er wird bestimmt durch den Isolationskondensator C2 (0,01 μF) und den Gesamtwiderstand der in Reihe geschalteten Signalquelle und Verstärkereingang (r + R1 = 100 + 100 = 200 kOhm). Mit der gleichen Formel berechnen wir die Grenzfrequenz dieser RC-Kette (HPF): fH = 1/2πRC = 1/6,28 2 105· 10-8 = 80 Hz. Um die Grenzfrequenz auf 20 Hz zu senken, muss die Kapazität des Isolationskondensators mindestens um das Vierfache erhöht werden. Der nächstgelegene Standardkapazitätswert beträgt 4 uF. Wenn gemäß der obigen Empfehlung die Ausgangsimpedanz der Signalquelle r auf 30 kΩ reduziert wird, beträgt der Gesamtwiderstand der HPF-Kette r + R1 = 30 + 100 = 130 kΩ und die erforderliche Kapazität der Der Isolationskondensator ist gleich: C \u1d 2 / 1πf HR \u6,28d 20 / 1,3 10 XNUMX-XNUMX5= 0,07 μF. Autor: V.Polyakov, Moskau
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