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Das Paradoxon mit Fibonacci-Zahlen. Fokusgeheimnis

Verzeichnis / Spektakuläre Tricks und ihre Hinweise

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Fokusbeschreibung:

Die Längen der Seiten der vier Teile, aus denen die Figuren bestehen (Abb. 1 und 2), sind Mitglieder der Fibonacci-Reihe, also einer Reihe von Zahlen, die mit zwei Einheiten beginnen: 1, 1, von denen jede mit beginnt der dritte ist die Summe der beiden vorherigen. Unsere Reihe sieht aus wie 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Ris.1

Fig. 2

Die Anordnung der Teile, in die das Quadrat geschnitten wurde, in Form eines Rechtecks, verdeutlicht eine der Eigenschaften der Fibonacci-Reihe, nämlich die folgende: Bei der Quadrierung eines beliebigen Mitglieds dieser Reihe ist das Produkt zweier benachbarter Mitglieder der Reihe plus oder minus eins wird erhalten. In unserem Beispiel ist die Seite des Quadrats 8 und die Fläche 64. Die 5 in der Fibonacci-Reihe liegt zwischen 13 und 5. Da die Zahlen 13 und 65 die Längen der Seiten des Rechtecks ​​​​werden, sollte dessen Fläche sein gleich XNUMX sein, was eine Vergrößerung der Fläche um eine Einheit ergibt.

Dank dieser Eigenschaft der Reihe ist es möglich, ein Quadrat zu konstruieren, dessen Seite eine beliebige Fibonacci-Zahl größer als eins ist, und es dann entsprechend den beiden vorhergehenden Zahlen dieser Reihe zu schneiden.

Nehmen wir zum Beispiel ein Quadrat von 13 x 13 Einheiten, dann sollten seine drei Seiten in Segmente mit einer Länge von 5 und 8 Einheiten unterteilt und dann geschnitten werden, wie in Abb. 2. Die Fläche dieses Quadrats beträgt 169 Quadrateinheiten. Die Seiten des aus den Teilen der Quadrate gebildeten Rechtecks ​​betragen 21 und 8, was eine Fläche von 168 Quadrateinheiten ergibt. Durch die Überlappung der Teile entlang der Diagonale kommt hier nicht eine Quadrateinheit hinzu, sondern geht verloren.

Wenn wir ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 nehmen, entsteht ebenfalls ein Verlust von einer Quadrateinheit. Es ist auch möglich, eine allgemeine Regel zu formulieren: Nehmen Sie für die Seite des Quadrats eine Zahl aus der „ersten“ Teilfolge der Fibonacci-Zahlen (3, 8, ...), die durch Eins liegt, und bilden Sie aus den Teilen dieser Zahl ein Rechteck Quadratisch erhalten wir entlang seiner Diagonale eine Lücke und als Folge der scheinbaren Flächenvergrößerung um eine Einheit. Wenn wir eine Zahl aus der „zweiten“ Teilfolge (2, 5, 13, ...) als Seite des Quadrats nehmen, erhalten wir überlappende Flächen entlang der Diagonale des Rechtecks ​​und den Verlust einer quadratischen Flächeneinheit.

Je weiter wir uns entlang der Fibonacci-Reihe bewegen, desto weniger auffällig werden die Überschneidungen oder Lücken. Und umgekehrt: Je weiter wir in der Reihe nach unten gehen, desto bedeutsamer werden sie. Sie können ein Paradoxon sogar auf einem Quadrat mit einer Seitenlänge von zwei Einheiten aufbauen. Aber dann gibt es eine so offensichtliche Überlappung im 3x1-Rechteck, dass die Wirkung des Paradoxons völlig verloren geht.

Wenn Sie andere Fibonacci-Reihen für das Paradoxon verwenden, erhalten Sie unzählige Möglichkeiten. So führen beispielsweise Quadrate, die auf einer Reihe von 2, 4, 6, 10, 16, 26 usw. basieren, zu einem Flächenverlust oder -gewinn von 4 Quadrateinheiten. Die Größe dieser Verluste oder Gewinne kann ermittelt werden, indem für eine gegebene Reihe die Differenz zwischen dem Quadrat eines ihrer Terme und dem Produkt der beiden benachbarten Terme links und rechts berechnet wird. Reihe 3,4,7, I, 18,29 usw. ergibt einen Gewinn oder Verlust von fünf Quadrateinheiten.

T. de Moulidar gab eine Zeichnung eines Quadrats basierend auf der Reihe 1, 4, 5, 9, 14 usw. Die Seite dieses Quadrats wird gleich 9 angenommen, und nach der Umwandlung in ein Rechteck gehen 11 Quadrateinheiten verloren . Die Reihe 2, 5, 7, 12, 19, ... ergibt ebenfalls einen Verlust oder Gewinn von 11 Quadrateinheiten. In beiden Fällen sind die Überlappungen (oder Lücken) entlang der Diagonale so groß, dass sie sofort erkennbar sind.

Wenn wir drei beliebige aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen mit A, B und C und mit X – Flächenverlust oder Flächengewinn – bezeichnen, erhalten wir die folgenden zwei Formeln:

A+B=C

B2=AC±X.

Wenn wir für Natürlich werden es nicht unbedingt rationale Zahlen sein. Es stellt sich beispielsweise heraus, dass man durch die Unterteilung eines Quadrats in Figuren mit rationalen Seitenlängen weder eine Vergrößerung noch einen Verlust von zwei oder drei Quadrateinheiten erzielen kann. Mit Hilfe irrationaler Zahlen kann dies natürlich erreicht werden. Somit ergibt die Fibonacci-Reihe √2, 2√2, 3√2, 5√ ... eine Zunahme oder einen Verlust von zwei Quadrateinheiten, und die Reihe √3, 2√3, 3√3, 5√3, . .. führt zu einem Gewinn oder Verlust von drei Quadrateinheiten.

Autor: M. Gardner

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