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Das Rechteck-Paradoxon. Fokusgeheimnis

Verzeichnis / Spektakuläre Tricks und ihre Hinweise

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Fokusbeschreibung:

Bei der Summierung der Flächen der Teile ergibt sich die Permutation der Dreiecke B und C im oberen Teil von Abb. 1 führt zu einem scheinbaren Verlust von einer Quadrateinheit.

Ris.1

Dies liegt an den Flächen der schattierten Teile: Oben auf der Figur befinden sich 15 schattierte Quadrate, unten 16. Wenn wir die schattierten Teile durch zwei Figuren besonderer Art ersetzen, die sie bedecken, erhalten wir ein neues, auffälliges Form des Paradoxons. Jetzt haben wir ein Rechteck vor uns, das in fünf Teile geschnitten werden kann und dann durch Vertauschen ein neues Rechteck und trotz der Tatsache, dass seine linearen Abmessungen gleich bleiben, ein Loch mit einer Fläche von ​ entsteht Im Inneren erscheint eine quadratische Einheit (Abb. 5).

Ris.2

Die Möglichkeit, eine Figur in eine andere mit denselben Außenmaßen, aber mit einem Loch im Umfang umzuwandeln, basiert auf Folgendem. Wenn Sie den Punkt X genau drei Einheiten von der Basis und fünf Einheiten von der Seite des Rechtecks ​​​​entfernt nehmen, verläuft die Diagonale nicht durch ihn. Allerdings weicht die Polylinie, die den Punkt X mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Rechtecks ​​verbindet, so wenig von der Diagonale ab, dass sie kaum wahrnehmbar ist. Nach dem Vertauschen der Dreiecke B und C in der unteren Hälfte der Zeichnung überlappen sich die Teile der Figur entlang der Diagonale leicht.

Betrachten wir andererseits im oberen Teil der Abbildung die Linie, die die gegenüberliegenden Eckpunkte des Rechtecks ​​​​verbindet, als genau gezeichnete Diagonale, dann ist die XW-Linie etwas länger als drei Einheiten. Und als Folge davon wird das zweite Rechteck etwas höher sein, als es scheint. Im ersten Fall kann davon ausgegangen werden, dass die fehlende Flächeneinheit von Ecke zu Ecke verteilt ist und eine Überlappung entlang der Diagonalen bildet. Im zweiten Fall wird das fehlende Quadrat über die Breite des Rechtecks ​​verteilt. Wie wir bereits aus dem vorherigen wissen, lassen sich alle Paradoxien dieser Art auf eine dieser beiden Konstruktionsmöglichkeiten zurückführen. In beiden Fällen sind die Ungenauigkeiten der Zahlen so gering, dass sie völlig unsichtbar sind.

Die eleganteste Form dieses Paradoxons sind die Quadrate, die nach Umverteilung der Teile und Bildung eines Lochs Quadrate bleiben.

Solche Quadrate sind in unzähligen Varianten und mit Löchern in beliebig vielen Quadrateinheiten bekannt. Einige der interessantesten davon sind in Abb. dargestellt. 3 und 4.

Ris.3

Ris.4

Sie können auf eine einfache Formel verweisen, die die Größe des Lochs mit den Proportionen des großen Dreiecks in Beziehung setzt. Die drei Größen, die besprochen werden, bezeichnen wir mit A, B und C (Abb. 5).

Ris.5

Die Fläche des Lochs in Quadrateinheiten entspricht der Differenz zwischen dem Produkt von A und C und dem nächsten Vielfachen der Größe B. Im letzten Beispiel ist das Produkt von A und C also 25. Das nächste Vielfache von Größe B bis 25 ist 24, das Loch ist also eine Quadrateinheit. Diese Regel gilt unabhängig davon, ob die echte Diagonale gezeichnet wird oder der Punkt X in Abb. 5 wird sauber am Schnittpunkt der Linien des quadratischen Gitters aufgetragen. Wenn die Diagonale, wie es sein sollte, als strenge Gerade gezeichnet wird oder wenn der Punkt X genau an einem der Eckpunkte des quadratischen Gitters liegt, ergibt sich kein Paradoxon. In diesen Fällen ergibt die Formel ein Loch mit null Quadrateinheiten, was natürlich bedeutet, dass überhaupt kein Loch vorhanden ist.

Autor: M. Gardner

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