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WICHTIGSTEN WISSENSCHAFTLICHEN ENTDECKUNGEN
Logarithmen. Geschichte und Wesen der wissenschaftlichen Entdeckung
Verzeichnis / Die wichtigsten wissenschaftlichen Entdeckungen Im Laufe des XNUMX. Jahrhunderts nahm die Zahl der Näherungsrechnungen vor allem in der Astronomie rapide zu. Das Studium der Planetenbewegungen erforderte kolossale Berechnungen. Astronomen könnten einfach in unmöglichen Berechnungen ertrinken. Offensichtliche Schwierigkeiten traten in anderen Bereichen wie Finanzen und Versicherungen auf. Die Hauptschwierigkeit war die Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen, insbesondere trigonometrischer Größen. Manchmal wurden Sinus- und Kosinustabellen verwendet, um die Multiplikation auf eine einfachere Addition und Subtraktion zu reduzieren. Es wurde auch eine Quadrattabelle bis 100 erstellt, mit deren Hilfe nach einer bestimmten Regel multipliziert werden konnte. Diese Verfahren lieferten jedoch keine zufriedenstellende Lösung des Problems. Sie brachten ihm Logarithmentafeln. „Die Entdeckung der Logarithmen basierte auf den Eigenschaften von Progressionen, die bereits Ende des XNUMX. Jahrhunderts bekannt waren“, schreiben M. V. Chirikov und A. P. Yushkevich. „Der Zusammenhang zwischen Mitgliedern des geometrischen Berufs und der arithmetischen Progression wurde mehr als einmal festgestellt Mathematiker; es wurde im „Psammit“ besprochen Archimedes. Eine weitere Voraussetzung war die Erweiterung des Gradbegriffs auf negative und gebrochene Exponenten, die es ermöglichte, den eben genannten Zusammenhang auf einen allgemeineren Fall zu übertragen... Viele... Autoren haben darauf hingewiesen, dass Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen in der geometrischen Folge in der Arithmetik – in derselben Reihenfolge – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division entsprechen. Die Idee des Logarithmus einer Zahl als Indikator dafür, auf welche Potenz eine bestimmte Basis gesteigert werden muss, um diese Zahl zu erhalten, war hier bereits verborgen. Es blieb noch übrig, die bekannten Eigenschaften einer Progression mit einem gemeinsamen Term auf beliebige reelle Exponenten zu übertragen. Dies würde eine kontinuierliche Exponentialfunktion ergeben, die jeden positiven Wert sowie dessen logarithmische Umkehrung annehmen kann. Aber diese Idee von tiefer grundlegender Bedeutung wurde erst mehrere Jahrzehnte später entwickelt.“ Logarithmen wurden etwa zehn Jahre später unabhängig voneinander von Napier und Burgi erfunden. Ihr Ziel war eines: der Wunsch, ein neues bequemes Mittel für arithmetische Berechnungen bereitzustellen. Der Ansatz erwies sich als anders. Napier drückte die logarithmische Funktion kinematisch aus, was ihm im Wesentlichen den Eintritt in das fast unerforschte Gebiet der Funktionstheorie ermöglichte. Bürgi blieb bei der Betrachtung diskreter Verläufe. Es ist zu beachten, dass beide eine andere Definition des Logarithmus hatten als die moderne. Der erste Erfinder des Logarithmus, der schottische Baron John Napier (1550–1617), wurde zu Hause in Edinburgh erzogen. Nachdem er Deutschland, Frankreich und Spanien bereist hatte, ließ er sich im Alter von einundzwanzig Jahren dauerhaft auf dem Familienanwesen in der Nähe von Edinburgh nieder. Napier nahm hauptsächlich Theologie und Mathematik auf, die er anhand der Werke von Euklid, Archimedes, Regiomontanus und Kopernikus studierte. „Zur Entdeckung der Logarithmen“, bemerken Chirikov und Yushkevich, „kam Neper nicht später als 1594, veröffentlichte aber erst zwanzig Jahre später seine Beschreibung der erstaunlichen Tabelle der Logarithmen“ (1614), die die Definition von Nepers Logarithmen und ihren Eigenschaften enthielt und Tabellen der Logarithmen von Sinus und Cosinus von 0 bis 90 Grad mit einem Intervall von 1 Minute sowie die Differenzen dieser Logarithmen, die die Logarithmen der Tangenten angeben. Er legte die theoretischen Schlussfolgerungen und Erläuterungen zur Methode zur Berechnung der Tabelle vor in einem anderen Werk, das wahrscheinlich vor der "Beschreibung" erstellt, aber postum veröffentlicht wurde, in "Building an amazing tables of logarithms" (1619). Erwähnen wir, dass Napier in beiden Werken auch einige Fragen der Trigonometrie behandelt. Besonders bekannt sind die "Analogien " bequem für den Logarithmus, d.h. Napiers Proportionen, die beim Lösen von sphärischen Dreiecken auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen sowie auf zwei Ecken und der Seite neben ihnen verwendet werden. Von Anfang an führte Napier das Konzept des Logarithmus für alle Werte sich kontinuierlich ändernder trigonometrischer Größen ein – Sinus und Cosinus. Im damaligen Stand der Mathematik, als es noch keinen analytischen Apparat für die Infinitesimalrechnung gab, war die kinematische Definition des Logarithmus das natürliche und einzige Mittel hierfür. Vielleicht blieben die Traditionen, die bis zur Oxford-Schule des XNUMX. Jahrhunderts zurückreichen, hier nicht ohne Einfluss.“ Napiers Definition des Logarithmus basiert auf der kinematischen Idee, die die Verbindung zwischen dem geometrischen Beruf und der arithmetischen Progression der Indikatoren seiner Mitglieder auf kontinuierliche Größen verallgemeinert. Napier stellte die Theorie der Logarithmen in der Arbeit "Construction of Amazing Tables of Logarithms" vor, die 1619 posthum veröffentlicht und 1620 von seinem Sohn Robert Napier erneut veröffentlicht wurde. Hier Auszüge daraus: „Die Logarithmentafel ist eine kleine Tafel, mit der man durch sehr einfache Berechnungen alle geometrischen Größen und Bewegungen herausfinden kann. Sie wird zu Recht klein genannt, weil sie die Sinustafeln an Volumen übertrifft, sehr leicht, weil mit Mit seiner Hilfe werden alle komplexen Multiplikationen, Divisionen und Wurzelzüge sowie alle Zahlen und Bewegungen im Allgemeinen gemessen, indem die einfachere Addition, Subtraktion und Division durch XNUMX durchgeführt wird. Es besteht aus Zahlen in kontinuierlichen Proportionen. 16. Wenn Sie von einem vollständigen Sinus mit sieben hinzugefügten Nullen den 10000000sten Teil subtrahieren und von der so erhaltenen Zahl den 10000000sten Teil usw. subtrahieren, kann diese Reihe in der zwischen ihnen bestehenden geometrischen Beziehung problemlos auf hundert Zahlen fortgesetzt werden der vollständige Sinus und Sinus, kleiner als dieser um eins, nämlich zwischen 10000000 und 9999999, und wir werden diese Reihe proportionaler Einsen die Erste Tabelle nennen. 17. Die zweite Tabelle folgt aus dem vollen Sinus, mit sechs hinzugefügten Nullen, durch fünfzig andere Zahlen, die proportional abnehmen, in einem Verhältnis, das das einfachste und so nahe wie möglich an dem Verhältnis zwischen der ersten und der letzten Zahl der ersten Tabelle ist. Da die ersten und letzten Zahlen der ersten Tabelle 10000000.0000000 und 9999900.004950 sind, ist es schwierig, diesbezüglich fünfzig proportionale Zahlen zu bilden. Ein enges und zugleich einfaches Verhältnis ist 100000 zu 99999, das man mit hinreichender Genauigkeit fortsetzen kann, indem man dem vollen Sinus sechs Nullen hinzufügt und sukzessive seinen 100000sten Teil vom vorherigen subtrahiert. Diese Tabelle enthält neben dem vollen Sinus, der die erste Zahl ist, weitere fünfzig proportionale Zahlen, von denen die letzte (wenn Sie sich nicht irren) 9995001.222927 sein wird. 18. Die dritte Tafel besteht aus neunundsechzig Spalten, und in jeder Spalte gibt es einundzwanzig Zahlen, die in einer Beziehung folgen, die die einfachste und so nahe wie möglich an der Beziehung ist, die zwischen dem ersten und dem letzten Mitglied der zweiten Tafel besteht . Daher kann seine erste Spalte sehr einfach aus dem vollen Sinus mit fünf hinzugefügten Nullen und aus nachfolgenden Zahlen erhalten werden, indem der 2000ste Teil davon subtrahiert wird. 19. Die ersten Zahlen aller Spalten ergeben sich aus dem perfekten Sinus mit vier hinzugefügten Nullen in einer Beziehung, die die einfachste ist und der Beziehung zwischen der ersten und der letzten Zahl der ersten Spalte am nächsten kommt ... 20. Im gleichen Verhältnis soll eine Progression gebildet werden von der zweiten Zahl der ersten Spalte für die zweiten Zahlen aller Spalten und von der dritten für die dritte und von der vierten für die vierte und dementsprechend von den übrigen für der Rest. Somit erhält man von einer beliebigen Zahl in der vorherigen Spalte durch Subtraktion ihres Hundertstelteils eine Zahl derselben Größenordnung in der nächsten Spalte ... 21 .... diese drei Tabellen (nachdem sie erstellt wurden) reichen aus, um die Logarithmentafel zu berechnen.“ Im Jahr 1620 veröffentlichte der Schweizer Joost Burgi (1552–1632), ein hochqualifizierter Mechaniker und Uhrmacher, das Buch „Tabellen der arithmetischen und geometrischen Progressionen, zusammen mit ausführlichen Anweisungen, wie sie verstanden und in allen Arten von Berechnungen sinnvoll angewendet werden sollten“. (1620). Wie Burgi selbst schrieb, ging er von Überlegungen zur Entsprechung zwischen Multiplikation in der geometrischen Progression und Addition in der Arithmetik aus. Das Problem bestand darin, eine Progression mit einem Nenner zu wählen, der nahe genug bei eins liegt, damit ihre Terme in Intervallen aufeinander folgen, die für praktische Berechnungen klein genug sind. Die Tische von Bürgi fanden jedoch keine nennenswerte Verbreitung. Sie konnten nicht mit Napiers Tischen konkurrieren, die bequemer und zu diesem Zeitpunkt bereits weithin bekannt waren. Weder Napier noch Burga hatten streng genommen eine Basis von Logarithmen, da der Logarithmus der Einheit von Null verschieden ist. Und viel später, als wir bereits auf dezimale und natürliche Logarithmen umgestiegen waren, war die Definition des Logarithmus als Indikator für den Grad einer gegebenen Basis noch nicht formuliert. Es erscheint erstmals in Handbüchern, wahrscheinlich bei W. Gardiner (1742). Gardiner selbst verwendete jedoch die Papiere des Mathematiklehrers W. Jones. Die weite Verbreitung der modernen Definition des Logarithmus wurde mehr als andere dadurch gefördert Euler, die in diesem Zusammenhang den Begriff "Stiftung" verwendet. Der Begriff „Logarithmus“ stammt von Napier, er entstand aus der Kombination der griechischen Wörter „ratio“ und „number“ und bedeutet „Zahl eines Verhältnisses“. Obwohl Napier zunächst einen anderen Begriff verwendete – „künstliche Zahlen“. Napiers Tabellen, angepasst an trigonometrische Berechnungen, waren für Operationen mit gegebenen Zahlen unbequem. Um diese Mängel zu beseitigen, schlug Napier vor, Logarithmentabellen zu erstellen, wobei null für den Logarithmus von eins und nur eins für den Logarithmus von zehn genommen wird. Er machte diesen Vorschlag während einer Diskussion mit Henry Briggs (1615–1561), einem Mathematikprofessor am Gresh College in London, der ihn 1631 besuchte und der selbst darüber nachdachte, wie man die Logarithmentafeln verbessern könnte. Aus gesundheitlichen Gründen konnte sich Napier nicht auf die Umsetzung seines Plans einlassen, deutete aber die Idee zweier von Briggs weiterentwickelter Rechenverfahren an. Briguet veröffentlichte die ersten Ergebnisse seiner akribischen Berechnungen – „The First Thousand Logarithms“ (1617) im Jahr von Napiers Tod. Hier wurden die dezimalen Logarithmen der Zahlen von 1 bis 1000 mit vierzehn Stellen angegeben. Die meisten dezimalen Logarithmen der Primzahlen fand Briguet durch Ziehen der Quadratwurzel. Später, bereits Professor in Oxford, veröffentlichte er Logarithmic Arithmetic (1624). Das Buch enthielt vierzehnstellige Logarithmen von Zahlen von 1 bis 20 und von 000 bis 90. Die verbleibende Lücke füllte der niederländische Buchhändler und Mathematiker Andrian Flakk (1600–1667). Etwas früher wurden siebenstellige Dezimaltabellen von Logarithmen von Sinus und Tangens von Briggs 'Kollege am Gresham College, einem Absolventen der Universität Oxford, Edmund Gunter (1581–1626), berechnet, der sie im Code of Triangles (1620) veröffentlichte. Die Entdeckung von Napier in den allerersten Jahren erlangte eine außergewöhnlich große Popularität. Viele Mathematiker haben sich der Erstellung von Logarithmentafeln und deren Verbesserung angenommen. So, Kepler 1624–1625 wandte er in Marburg Logarithmen bei der Konstruktion neuer Tabellen der Planetenbewegungen an. Im Anhang zur zweiten Auflage von Napiers Beschreibung (1618) wurden mehrere natürliche Logarithmen berechnet. Hier sehen Sie einen Ansatz zur Einführung eines Limits. Höchstwahrscheinlich gehört dieser Zusatz V. Otred. Bald veröffentlichte der Londoner Mathematiklehrer John Spadell Tabellen mit natürlichen Logarithmen von Zahlen von 1 bis 1000. Der Begriff „natürliche Logarithmen“ wurde von P. Mengoli (1659) und etwas später von N. Mercator (1668) eingeführt. Die praktische Bedeutung der berechneten Tabellen war sehr groß. Aber die Entdeckung der Logarithmen hatte auch die tiefste theoretische Bedeutung. Sie erweckte Forschungen zum Leben, von denen die ersten Erfinder nicht einmal träumen konnten, und verfolgte nur das Ziel, arithmetische und trigonometrische Berechnungen mit großen Zahlen zu erleichtern und zu beschleunigen. Insbesondere Napiers Entdeckung öffnete den Weg zu neuen transzendentalen Funktionen und gab der Entwicklung der Analyse starke Impulse. Autor: Samin D. K.
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