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ENZYKLOPÄDIE DER FUNKELEKTRONIK UND ELEKTROTECHNIK Berechnung komplexer und verzweigter Ketten. Enzyklopädie der Funkelektronik und Elektrotechnik
Lexikon der Funkelektronik und Elektrotechnik / Anfänger Funkamateur Wenn zwei Widerstände in Reihe geschaltet sind (Abb. 6, a), dann fließt durch sie derselbe Strom I. Die Spannungsabfälle an den Widerständen betragen: U1 = I R1 und U2 = I R2. Der gesamte Spannungsabfall beträgt U = U1 + U2 = I(R1 + R2). In Klammern steht der Gesamtwiderstand R = R1 + R2. Wenn also Widerstände in Reihe geschaltet werden, addieren sich ihre Widerstandswerte.
Wenden wir uns der Parallelschaltung zu (Abb. 6b). Dabei beträgt die gemeinsame Spannung für beide Widerstände U und der Gesamtstrom I verzweigt sich in die Ströme I1 = U/R1 und I2 = U/R2, mit I = I1 + I2. Lassen Sie uns das Ohmsche Gesetz verwenden und die Ströme in der letzten Formel als Spannung und Widerstand ausdrücken: U/R = U/R1 + U/R2. Wenn wir U reduzieren, erhalten wir 1/R = 1/R1 + 1/R2. Bei der Parallelschaltung von Widerständen addieren sich Werte, die invers zu den Widerständen sind – Leitfähigkeit. Es ist merkwürdig, dass bei einer Reihenschaltung der Gesamtwiderstand größer ist als der größte der Summenwiderstände und bei einer Parallelschaltung kleiner als der kleinste. Der einfachste Weg, mit den gleichen Widerständen umzugehen: Wenn wir N Teile in Reihe schalten, erhalten wir den gleichen Widerstandswert, und wenn wir sie parallel schalten, erhalten wir den gleichen Widerstandswert weniger. Die Formel zur Berechnung des Widerstands bei Parallelschaltung von Widerständen löst keine große Begeisterung aus, für diesen Fall wurde vor langer Zeit ein sehr praktisches Nomogramm erfunden (Abb. 7).
Wir legen auf einem Blatt Papier in einer Zelle vertikal den Wert von R1 und in jedem Abstand auf der Seite - R2 beiseite. Der Maßstab spielt keine Rolle, eine Zelle kann 10 Ohm oder 100 kOhm entsprechen, wichtig ist nur, dass sie gleich ist. Wir zeichnen Linien entlang des Lineals von der Oberseite eines Segments zur Basis eines anderen (gestrichelt in Abb. 7), und die Höhe ihres Schnittpunkts gibt den Wert von R auf derselben Skala an. Mit den Formeln zur Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen kann man bei der Berechnung komplexer Schaltkreise, die nur aus passiven Elementen bestehen, recht weit kommen. Betrachten Sie als abstraktes Beispiel die Schaltung in Abb. 8a, die ein wenig an eine Lawine von Zerfallsprodukten beim Eindringen eines kosmischen Teilchens in die Erdatmosphäre erinnert. Es ist erforderlich, den Widerstand zwischen der oberen Klemme und dem gemeinsamen Kabel zu ermitteln.
Beginnen wir mit der Vereinfachung der Schaltung, indem wir den Gesamtwiderstand der parallel geschalteten R4, R5 und R6, R7 berechnen (Abb. 8, b). Dann werden die berechneten Werte von R4-5 und R6-7 zu R2 bzw. R3 addiert (serielle Verbindungen). Es stellt sich ein sehr einfaches Schema der Abb. heraus. 8, c. Nachdem wir nun den Gesamtwiderstand der parallel geschalteten unteren Widerstände berechnet haben, erhalten wir die Schaltung von Abb. 8, d, in dem der berechnete Wert von R2-7 nur zu R1 addiert werden kann (Abb. 8, e), um die Antwort zu erhalten. Ströme und Spannungen werden mithilfe des einfachsten Ohmschen Gesetzes für einen Stromkreisabschnitt ermittelt, wobei die Stromkreise in die entgegengesetzte Richtung „abgewickelt“ werden. An den oberen Ausgang legen wir die Spannung U an. Durch Division durch den Gesamtwiderstand des Stromkreises erhalten wir den Gesamtstrom I (Abb. 8, e). Die Widerstände R1 und R2-7 bilden äquivalent zum Rest der Schaltung einen Spannungsteiler (Abb. 8d), bei dem U2-7 = I R2-7 ist. Die Ströme I1 und I2 erhalten wir, indem wir die resultierende Spannung durch die Widerstände der entsprechenden Zweige dividieren (Abb. 8, c) usw. Der Vorgang ist langwierig, aber nicht kompliziert. Berechnen Sie zum Training im Kopf den Gesamtwiderstand des Stromkreises, wenn alle Widerstände gleich sind, und außerdem, welcher Anteil der Gesamtspannung auf R7 entfällt? (Antwort: 1,75R, U/7). Die Methode ist nicht anwendbar, wenn der Stromkreis Querverbindungen (Brücken) zwischen den Zweigen aufweist oder in den Zweigen Strom- oder Spannungsquellen vorhanden sind. In diesem Fall werden die Kirchhoffschen Regeln zur Berechnung komplexer Schaltkreise verwendet. Es gibt zwei davon: 1. Die algebraische Summe der Ströme in jedem Knoten ist Null. 2. Die Summe der Spannungsabfälle in jedem Stromkreis ist gleich der Summe der EMF. Denken Sie daran, dass ein Knoten eine Verbindung von drei oder mehr Leitern ist und ein Stromkreis ein geschlossener Stromkreis ist, der im Diagramm hervorgehoben ist. Bei Verwendung der Kirchhoff-Regeln ist es notwendig, im Diagramm die Richtung der Ströme und die Richtung der Umgehung der Stromkreise anzugeben. Der Strom gilt als positiv, wenn er in den Knoten fließt, und als negativ, wenn er aus dem Knoten herausfließt. Wenn der Strom mit der Richtung des Bypass-Stromkreises übereinstimmt, gilt der entsprechende Spannungsabfall als positiv. Wenn der Strom durch die Quelle von - nach + gerichtet ist, ist die EMF ebenfalls positiv. Gemäß der ersten Regel sollten nicht mehr als Y-1 Gleichungen erstellt werden, wobei Y die Anzahl der Knoten ist. Die restlichen Gleichungen werden nach der zweiten Regel zusammengestellt und der Einfachheit halber werden die einfachsten Konturen gewählt. Die Gesamtzahl der Gleichungen entspricht der Anzahl der Zweige bzw. Ströme. Sie können Gleichungen auf jede Art und Weise lösen: durch Substitution, Addition und Subtraktion von Gleichungen, Erstellen von Matrizen usw. Lassen Sie uns das Gesagte anhand einfacher Beispiele erläutern. Berechnen wir den Gleichgewichtszustand der Wheatstone-Brücke, deren Diagramm mit allen notwendigen Notationen in Abb. dargestellt ist. 9.
Beachten Sie zunächst, dass der in Knoten A fließende Strom I0 gleich dem aus Knoten D fließenden Strom ist, da keine anderen Leiter mit der Brücke verbunden sind. Wenn die Brücke im Gleichgewicht ist, ist der Strom I5 durch das Galvanometer RA Null. Wenn wir die erste Regel auf die Punkte B und C anwenden, erhalten wir I1 = I3 und I2 = I4, und wenn wir sie auf Punkt A anwenden, erhalten wir I0 = I1 + I2. Für den oberen Stromkreis (in ihm gibt es keine EMF und der Strom I5 und der Spannungsabfall am Galvanometer sind gleich Null) gilt I1 R1 - I2 R2 = 0. Ebenso gilt für den unteren Stromkreis I3 R3 - I4 R4 = 0. Wenn wir I3 durch I1 und I4 durch I2 ersetzen und dann die Terme von I2 auf die rechte Seite übertragen, erhalten wir I1 R1 = I2 R2, I1 R3 = I2 R4. Es bleibt noch, eine Gleichheit durch eine andere zu dividieren, um die bekannte Brückengleichgewichtsbedingung zu erhalten: Im in Abb. dargestellten Fall müssen die Kirchhoffschen Regeln angewendet werden. 10, wenn zwei Quellen mit unterschiedlicher EMF und Innenwiderständen an einer gemeinsamen Last arbeiten.
Angenommen, alle Werte der Elemente sind bekannt, muss der Strom in der Last und in jeder der Quellen ermittelt werden. Der Sicherheit halber gehen wir auch davon aus, dass wir die Quelle mit einer höheren EMF als E1 bezeichnet haben. Es gibt zwei Knoten in dieser Schaltung, daher werden wir gemäß der ersten Regel nur eine Gleichung für Knoten A aufstellen: I1 + I2 = I3 (versuchen Sie zum Spaß, eine Gleichung für einen anderen Knoten aufzustellen – nichts Neues wird funktionieren). Wir benötigen jedoch drei Gleichungen, entsprechend der Anzahl der unbekannten Ströme. Wählen wir einfachere Konturen, sodass jeder Stromkreis eine Quelle enthält, und schreiben wir: für I - I1·r1 + I3·R = Е1; für II - I2 r2 + I3 R = E2. Jetzt müssen noch die Werte der EMF (in Volt) und des Widerstands (in Ohm) ersetzt, drei Gleichungen gemeinsam gelöst und drei Ströme (in Ampere) ermittelt werden. Ein merkwürdiger Fall ist möglich, wenn eine Quelle mit einer niedrigeren EMF (E2) überhaupt keinen Strom liefert (es entsteht eine Art Brücke). Subtrahieren Sie die Gleichung für Kreis II von der Gleichung für Kreis I und setzen Sie I2 = 0. Wir erhalten I1 r1 = E1 - E2. Das bedeutet, dass am Innenwiderstand der ersten Quelle gerade eine solche Spannung abfällt, dass die Spannung an der Last gleich E2 ist. Unter diesen Bedingungen gibt es natürlich keinen Spannungsabfall an r2 und es fließt kein Strom durch die Quelle. Der Strom I1 = I3 fließt in die Last. Wenn wir nun E2 verringern oder R erhöhen, fließt der Strom I2 in die entgegengesetzte Richtung wie angegeben (die Lösung für I2 ist negativ), d. h. nicht von der Quelle, sondern zur Quelle (die Batterie anstelle von E2 wird geladen). Frage zum Selbsttest. Die Pole einer 3336-Batterie (sie besteht aus drei in Reihe geschalteten identischen Zellen) werden kurzgeschlossen und an der mittleren Zelle ist ein Voltmeter angebracht. Was wird er zeigen? Antwort. Die Spannung an den Batterieklemmen ist je nach Zustand des Problems gleich Null (die Klemmen sind geschlossen). Der Strom im Elementkreis ist gleich dem Kurzschlussstrom: I = 1E/0r = E/r = Ikz. Die Spannung an jedem Element ist gleich seiner EMK abzüglich des Spannungsabfalls an seinem Innenwiderstand: U = E – XNUMX-g. Wenn wir den Strom in den Ausdruck für U einsetzen, erhalten wir U = E - E = XNUMX. Das Voltmeter zeigt also keine Spannung an. Autor: V.Polyakov, Moskau
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