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WICHTIGSTEN WISSENSCHAFTLICHEN ENTDECKUNGEN
Differential- und Integralrechnung. Geschichte und Wesen der wissenschaftlichen Entdeckung
Verzeichnis / Die wichtigsten wissenschaftlichen Entdeckungen Lange bevor Newton и Leibniz Viele Philosophen und Mathematiker beschäftigten sich mit der Frage der Infinitesimalzahlen, beschränkten sich aber nur auf die elementarsten Schlussfolgerungen. Schon die alten Griechen verwendeten in geometrischen Studien die Methode der Grenzen, mit deren Hilfe sie beispielsweise die Fläche eines Kreises berechneten. Eine besondere Entwicklung erhielt diese Methode durch den größten Mathematiker des Altertums Archimedes, der mit seiner Hilfe viele bemerkenswerte Theoreme entdeckte. Kepler und kam in dieser Hinsicht Newtons Entdeckung am nächsten. Anlässlich eines rein profanen Streits zwischen einem Käufer und einem Verkäufer um mehrere Krüge Wein griff Kepler die geometrische Bestimmung des Fassungsvermögens tonnenförmiger Körper auf. In diesen Studien kann man bereits eine sehr klare Vorstellung von Infinitesimals erkennen. So betrachtete Kepler die Fläche eines Kreises als Summe unzähliger sehr kleiner Dreiecke, oder genauer gesagt als Grenze einer solchen Summe. Später griff der italienische Mathematiker Cavalieri dieselbe Frage auf. Insbesondere die französischen Mathematiker Roberval aus dem XNUMX. Jahrhundert haben viel auf diesem Gebiet getan, Farm и Паскаль. Aber erst Newton und etwas später Leibniz schufen eine wirkliche Methode, die allen Zweigen der mathematischen Wissenschaften einen gewaltigen Auftrieb verlieh. Laut Auguste Comte ist die Differentialrechnung oder die Analyse von Infinitesimalgrößen eine Brücke zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen, zwischen Mensch und Natur: Eine tiefe Kenntnis der Naturgesetze ist mit Hilfe einer groben Analyse des Endlichen nicht möglich Mengen, denn in der Natur bei jedem Schritt - unendlich, kontinuierlich, sich verändernd. Newton erstellte seine Methode auf der Grundlage früherer Entdeckungen, die er auf dem Gebiet der Analyse gemacht hatte, aber in der wichtigsten Frage wandte er sich der Hilfe von Geometrie und Mechanik zu. Wann genau Newton seine neue Methode entdeckte, ist nicht genau bekannt. Aufgrund der engen Verbindung dieser Methode mit der Gravitationstheorie sollte man annehmen, dass sie zwischen 1666 und 1669 von Newton entwickelt wurde, auf jeden Fall also vor den ersten Entdeckungen, die Leibniz auf diesem Gebiet machte. „Newton betrachtete die Mathematik als das wichtigste Werkzeug der physikalischen Forschung“, bemerkt V.A. Nikiforovsky, „und entwickelte sie für zahlreiche weitere Anwendungen weiter. Nach langen Überlegungen kam er zur Infinitesimalrechnung, die auf dem Konzept der Bewegung basierte; die Mathematik war für ihn nicht der Fall.“ als abstraktes Produkt des menschlichen Geistes agieren. Er glaubte, dass geometrische Bilder – Linien, Flächen, Körper – durch Bewegung entstehen: eine Linie – wenn sich ein Punkt bewegt, eine Fläche – wenn sich eine Linie bewegt, ein Körper – wenn a Oberflächenbewegungen. Diese Bewegungen werden in der Zeit ausgeführt, und für eine beliebig kleine Zeit wird ein Punkt, beispielsweise ein beliebig kleiner Weg, durchlaufen. Um die momentane Geschwindigkeit, die Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment, zu ermitteln, ist es notwendig, die zu ermitteln Verhältnis des Inkrements des Pfades (in moderner Terminologie) zum Inkrement der Zeit, und dann die Grenze dieses Verhältnisses, d „letzte Verhältnisse“, Ableitungen, die er Fluxionen nannte ... ... Die Verwendung des sogar Barrow bekannten Satzes über die gegenseitige Umkehrung der Operationen der Differentiation und Integration und die Kenntnis der Ableitungen vieler Funktionen gaben Newton die Möglichkeit, Integrale (in seiner Terminologie Fluente) zu erhalten. Wenn die Integrale nicht direkt berechnet wurden, erweiterte Newton den Integranden zu einer Potenzreihe und integrierte ihn Term für Term. Um Funktionen in Reihen zu entwickeln, verwendete er am häufigsten die von ihm entdeckte Binomialentwicklung und wandte auch elementare Methoden an ... " Der neue mathematische Apparat wurde vom Wissenschaftler bereits getestet, als er sein Hauptwerk schuf – „Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie“. Zu dieser Zeit beherrschte Newton die Differenzierung, Integration, Reihenentwicklung, Integration von Differentialgleichungen und Interpolation fließend. "Newton", fährt V. A. Nikiforovsky fort, "machte seine Entdeckungen vor Leibniz, veröffentlichte sie jedoch nicht rechtzeitig; alle seine mathematischen Arbeiten wurden veröffentlicht, nachdem er berühmt geworden war. willkürlicher Exponent. 1664 fertigte er ein Manuskript mit dem Titel "The following Sätze genügen, um Probleme durch Bewegung zu lösen", die die wichtigsten Entdeckungen der Mathematik enthält. Das Manuskript blieb im Entwurf und wurde erst dreihundert Jahre später veröffentlicht. In „Analyse mittels Gleichungen mit unendlich vielen Termen“ aus dem Jahr 1665 erläuterte Newton seine Ergebnisse in der Lehre der Infinitesimalreihen, in der Anwendung von Reihen zur Lösung von Gleichungen ... ...In den Jahren 1670-1671 begann Newton, ein vollständigeres Werk zur Veröffentlichung vorzubereiten - "The Method of Fluxions and Infinite Series". Es war nicht möglich, einen Verlag zu finden: Bücher über Mathematik brachten damals Verluste ... In der "Method of Fluxions" fungiert Newtons Lehre als System: Die Berechnung von Fluxionen wird betrachtet, ihre Anwendung auf die Bestimmung von Tangenten gefunden Extrema, Krümmung, Berechnung von Quadraturen, Lösen von Gleichungen mit Fluxionen, was modernen Differentialgleichungen entspricht". Erst 1704 erschien das erste von Newtons Werken zur Analysis – geschrieben von ihm 1665-1666. Sieben Jahre später veröffentlichten sie „Analysis using Equations with an Infinite Number of Terms“. Die „Method of Fluxions“ erblickte erst nach dem Tod des Autors im Jahr 1736 das Licht der Welt. Newton ahnte lange Zeit nicht einmal, dass der deutsche Leibniz erfolgreich ein ähnliches Problem auf dem Kontinent anpackte, und die Wissenschaftler, die die Verdienste des anderen hoch schätzten, verwickelten sich schließlich in eine Debatte darüber Priorität der Entdeckung der Infinitesimalrechnung. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) wurde in Leipzig geboren. Leibniz' Mutter, die sich um die Erziehung ihres Sohnes kümmerte, schickte ihn auf Nicolais Schule, die damals als die beste in Leipzig galt. Gottfried saß ganze Tage in der Bibliothek seines Vaters. Er las wahllos Platon, Aristoteles, Cicero, Descartes. Gottfried war noch keine vierzehn Jahre alt, als er seine Schullehrer mit einem Talent in Erstaunen versetzte, das niemand in ihm vermutete. Er entpuppte sich als Dichter – nach damaliger Auffassung konnte ein wahrer Dichter nur auf Latein oder Griechisch schreiben. Mit XNUMX Jahren wurde Gottfried Student an der Universität Leipzig. Offiziell wurde Leibniz an der Juristischen Fakultät berücksichtigt, aber der spezielle Kreis der Rechtswissenschaften befriedigte ihn bei weitem nicht. Neben Vorlesungen über Rechtswissenschaften besuchte er fleißig viele andere, insbesondere in Philosophie und Mathematik. Um seine mathematische Ausbildung zu vervollständigen, ging Gottfried nach Jena, wo der Mathematiker Weigel berühmt war. Nach Leipzig zurückgekehrt, bestand Leibniz die Magisterprüfung in „Geisteswissenschaften und Weltweisheit“, also Literatur und Philosophie, mit Bravour. Gottfried war damals noch nicht einmal 18 Jahre alt. Im nächsten Jahr wandte er sich für eine Weile der Mathematik zu und schrieb „Discourse on Combinatorial Art“. Im Herbst 1666 reiste Leibniz nach Altorf, der Universitätsstadt der kleinen Nürnberger Republik. Hier verteidigte Leibniz am 5. November 1666 glänzend seine Doktorarbeit „Über verschränkte Materie“. 1667 ging Gottfried nach Mainz zum Kurfürsten, dem er sofort vorgestellt wurde. Fünf Jahre lang bekleidete Leibniz eine herausragende Stellung am Mainzer Hof, diese Zeit seines Lebens war eine Zeit reger literarischer Tätigkeit. Leibniz verfasste eine Reihe von Werken philosophischen und politischen Inhalts. Am 18. März 1672 brach Leibniz zu einer wichtigen diplomatischen Mission nach Frankreich auf. Die Bekanntschaft mit den Pariser Mathematikern in kürzester Zeit lieferte Leibniz die Informationen, ohne die er bei aller Genialität nichts wirklich Großes auf dem Gebiet der Mathematik hätte erreichen können. Die Schule von Fermat, Pascal und Descartes war für den zukünftigen Erfinder der Differentialrechnung notwendig. Für Leibniz begann die eigentliche Mathematik erst nach einem Besuch in London im Jahr 1675. Nach seiner Rückkehr nach Paris teilte Leibniz seine Zeit zwischen Studien in Mathematik und Arbeiten philosophischer Natur auf. Die mathematische Richtung setzte sich bei ihm immer mehr gegen die juristische durch, die exakten Wissenschaften zogen ihn nun mehr an als die Dialektik römischer Juristen. Im letzten Jahr seines Aufenthalts in Paris im Jahr 1676 erarbeitete Leibniz die ersten Grundlagen der großen mathematischen Methode, die als „Kalkül“ bekannt ist. Die Tatsachen belegen überzeugend, dass Leibniz, obwohl er die Methode der Fluxionen nicht kannte, durch Newtons Briefe zur Entdeckung geführt wurde. Andererseits besteht kein Zweifel daran, dass die Entdeckung von Leibniz in Bezug auf Allgemeingültigkeit, Bequemlichkeit der Benennung und detaillierte Entwicklung der Methode zu einem Analysewerkzeug geworden ist, das viel mächtiger und beliebter ist als Newtons Methode der Fluxionen. Auch Newtons Landsleute, die lange aus nationaler Eitelkeit die Methode der Fluxionen bevorzugten, übernahmen nach und nach Leibniz' bequemere Bezeichnungen; die Deutschen und Franzosen schenkten sogar der Newtonschen Methode zu wenig Beachtung, die in anderen Fällen bis heute ihre Bedeutung behalten hat. Die mathematische Methode von Leibniz steht in engem Zusammenhang mit seiner späteren Theorie der Monaden – infinitesimalen Elementen, aus denen er versuchte, das Universum aufzubauen. Die mathematische Analogie, die Anwendung der Theorie der größten und kleinsten Größen auf das moralische Gebiet, gab Leibniz das, was er als Leitfaden der Moralphilosophie ansah. Leibniz' politische Aktivitäten lenkten ihn weitgehend von der Mathematik ab. Trotzdem widmete er seine ganze Freizeit der Bearbeitung der von ihm erfundenen Differentialrechnung und schaffte es zwischen 1677 und 1684, einen ganz neuen Zweig der Mathematik zu schaffen. 1684 veröffentlichte Leibniz in der Zeitschrift Proceedings of Scientists eine systematische Darstellung der Prinzipien der Differentialrechnung. Alle von ihm veröffentlichten Abhandlungen, insbesondere die letzte, die fast drei Jahre vor dem Erscheinen der ersten Ausgabe von Newtons Principia erschien, gaben der Wissenschaft einen so gewaltigen Auftrieb, dass es gegenwärtig schwierig ist, die volle Bedeutung der von ihm vorgenommenen Reform auch nur einzuschätzen Leibniz auf dem Gebiet der Mathematik. Was sich die Köpfe der besten französischen und englischen Mathematiker vage vorgestellt hatten, mit Ausnahme von Newton, der seine eigene Methode der Fluxionen hatte, wurde plötzlich klar, deutlich und allgemein zugänglich, was man von Newtons brillanter Methode nicht sagen kann. "Leibniz war im Gegensatz zum konkreten, empirischen, umsichtigen Newton", schreibt V. P. Kartsev, "ein bedeutender Taxonom auf dem Gebiet der Infinitesimalrechnung, ein gewagter Erneuerer. Phänomene. Dieses ehrgeizige und unrealistische Projekt war natürlich nicht realisierbar; aber, verändert, wurde es zu einem universellen Notationssystem für die Rechnung der Kleinen, das wir immer noch verwenden.Er operiert frei mit Zeichen ... die er mit Recht als Zeichen umgekehrter Operationen betrachtet, und dreht mit ihnen so frei und frei wie mit algebraische Symbole. Er operiert problemlos mit Ableitungen höherer Ordnung, während Newton in streng begrenzter Weise Fluxionen höherer Ordnung einführt, wenn dies zur Lösung eines bestimmten Problems erforderlich ist. Leibniz sah in seinen Differentialen und Integralen eine allgemeine Methode, suchte bewusst einen starren Algorithmus zur vereinfachten Lösung bisher ungelöster Probleme. Newton hingegen war es völlig egal, seine Methode öffentlich zugänglich zu machen. Seine Symbolik wurde von ihm nur für den "internen", persönlichen Konsum eingeführt, er hielt sich nicht strikt daran. Hier ist die Meinung des sowjetischen Mathematikers A. Shibanov: „Die britischen Wissenschaftler beugten sich vor der unbestreitbaren Autorität ihres großen Landsmanns und kanonisierten anschließend jeden Strich, jedes kleinste Detail seiner wissenschaftlichen Tätigkeit, sogar die mathematischen Zeichen, die er für den persönlichen Gebrauch einführte.“ „Die Tradition der Ehrfurcht vor Newton lastete schwer auf der englischen Wissenschaft, und seine im Vergleich zu Leibniz ungeschickten Bezeichnungen behinderten den Fortschritt“, stimmt der niederländische Wissenschaftler D.Ya zu. Stroyk. In einem Brief vom Juni 1677 offenbarte Leibniz Newton direkt seine Methode der Differentialrechnung. Auf den Brief von Leibniz reagierte er nicht. Newton glaubte, dass die Entdeckung ihm für immer gehört. Es reicht aus, dass es nur in seinem Kopf verborgen war. Der Wissenschaftler glaubte aufrichtig: Eine rechtzeitige Veröffentlichung bringt keine Rechte. Vor Gott wird der Entdecker immer derjenige sein, der zuerst entdeckt hat. Autor: Samin D. K.
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