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WICHTIGSTEN WISSENSCHAFTLICHEN ENTDECKUNGEN
Wahrscheinlichkeitstheorie. Geschichte und Wesen der wissenschaftlichen Entdeckung
Verzeichnis / Die wichtigsten wissenschaftlichen Entdeckungen „Wir können davon ausgehen“, schreibt V.A. Nikiforovsky, „dass die Wahrscheinlichkeitstheorie nicht als Wissenschaft, sondern als Sammlung empirischer Beobachtungen und Informationen schon seit langer Zeit existiert, so lange es das Würfelspiel gibt. Tatsächlich.“ , ein erfahrener Spieler wusste und hat im Spiel wahrscheinlich berücksichtigt, dass unterschiedliche Anzahlen gewürfelter Punkte unterschiedlich häufig auftreten. Beim Werfen von drei Würfeln können beispielsweise drei Punkte nur auf eine Weise (ein Punkt auf jedem Würfel) entstehen. und vier Punkte können auf drei Arten entstehen: 2+1+1, 1+2+1, 1 + 1 + 2. Elementare Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie entstanden, wie bereits erwähnt, im Zusammenhang mit der Problematik des Glücksspiels und der Verarbeitung der Ergebnisse von astronomischen Beobachtungen, Problemen der Statistik und der Praxis von Versicherungsgesellschaften. Versicherungen verbreiteten sich zusammen mit der Entwicklung der Schifffahrt und des Seehandels. Bereits im XNUMX. Jahrhundert wandten sich die bedeutenden Mathematiker Tartaglia und Cardano den Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie im Zusammenhang mit dem Würfelspiel zu und zählten die verschiedenen Möglichkeiten zum Abwerfen von Punkten auf. Cardano hat in seiner Arbeit „On Gambling“ Berechnungen angestellt, die denen sehr nahe kommen, die später erlangt wurden, als sich die Wahrscheinlichkeitstheorie bereits als Wissenschaft etabliert hatte. Derselbe Cardano konnte berechnen, auf wie viele Arten das Werfen von zwei oder drei Würfeln die eine oder andere Anzahl von Punkten ergibt. Er ermittelte die Gesamtzahl möglicher Fallouts. Mit anderen Worten, Cardano hat die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse berechnet. Alle Tabellen und Berechnungen von Tartaglia und Cardano wurden jedoch nur Material für die zukünftige Wissenschaft. „Die ganz auf exakten Schlüssen aufgebaute Wahrscheinlichkeitsrechnung finden wir zum ersten Mal nur in Pascal и Farm“, sagt Zeiten. Fermat und Pascal wurden wirklich die Begründer der mathematischen Theorie der Wahrscheinlichkeit. Blaise Pascal (1623–1662) wurde in Clermont geboren. Die gesamte Familie Pascal zeichnete sich durch herausragende Fähigkeiten aus. Blaise selbst zeigte von früher Kindheit an Anzeichen einer außergewöhnlichen geistigen Entwicklung. 1631, als der kleine Pascal acht Jahre alt war, zog sein Vater mit allen Kindern nach Paris, verkaufte nach damaligem Brauch sein Büro und investierte einen großen Teil seines kleinen Kapitals in das Hotel de Ville. Mit viel Freizeit beschäftigte sich Etienne Pascal fast ausschließlich mit der geistigen Erziehung seines Sohnes. Er selbst beschäftigte sich viel mit Mathematik und versammelte gerne Mathematiker in seinem Haus. Aber nachdem er einen Studienplan für seinen Sohn erstellt hatte, legte er die Mathematik beiseite, bis sein Sohn sich in Latein verbesserte. Was war die Überraschung des Vaters, als er seinen Sohn sah, der unabhängig versuchte, die Eigenschaften des Dreiecks zu beweisen. Die Treffen bei Pater Pascal und einigen seiner Freunde nahmen den Charakter echter wissenschaftlicher Treffen an. Ab seinem sechzehnten Lebensjahr nahm auch der junge Pascal aktiv am Unterricht des Zirkels teil. Er war bereits so stark in Mathematik, dass er fast alle damals bekannten Methoden beherrschte, und unter den Mitgliedern, die am häufigsten neue Berichte erstellten, war er einer der ersten. Im Alter von sechzehn Jahren schrieb Pascal eine sehr bemerkenswerte Abhandlung über Kegelschnitte. Intensive Studien untergruben jedoch bald Pascals ohnehin schlechten Gesundheitszustand. Bereits im Alter von achtzehn Jahren klagte er ständig über Kopfschmerzen, denen zunächst wenig Beachtung geschenkt wurde. Aber Pascals Gesundheit wurde schließlich durch die übermäßige Arbeit an der von ihm erfundenen Rechenmaschine gestört. Die von Pascal erfundene Maschine war ziemlich komplex im Design, und die Berechnung mit ihrer Hilfe erforderte beträchtliches Geschick. Dies erklärt, warum es eine mechanische Kuriosität blieb, die die Zeitgenossen überraschte, aber keinen praktischen Nutzen fand. Seit der Erfindung der Rechenmaschine durch Pascal ist sein Name nicht nur in Frankreich, sondern auch im Ausland bekannt geworden. 1643 unternahm Torricelli Experimente, um verschiedene Flüssigkeiten in Rohren und Pumpen zu heben. Torricelli folgerte, dass der Grund für das Aufsteigen von Wasser und Quecksilber das Gewicht der Luftsäule ist, die auf die offene Oberfläche der Flüssigkeit drückt. Diese Experimente interessierten Pascal. Da er weiß, dass Luft Gewicht hat, beschließt er, die in Pumpen und Rohren beobachteten Phänomene durch die Wirkung dieses Gewichts zu erklären. Die Hauptschwierigkeit bestand jedoch darin, den Übertragungsweg des Luftdrucks zu erklären. Blaise argumentierte wie folgt: Wenn tatsächlich der Luftdruck die Ursache für die fraglichen Phänomene ist, dann folgt daraus, dass je kleiner oder niedriger, wenn alle anderen Dinge gleich sind, die Luftsäule auf das Quecksilber drückt, desto niedriger die Quecksilbersäule im barometrische Röhre. Als Ergebnis des Experiments zeigte Pascal, dass sich der Druck einer Flüssigkeit gleichmäßig in alle Richtungen ausbreitet und dass fast alle ihre anderen mechanischen Eigenschaften aus dieser Eigenschaft von Flüssigkeiten folgen. Außerdem fand der Wissenschaftler heraus, dass der Luftdruck in seiner Verteilung dem Wasserdruck völlig ähnlich ist. Im Bereich der Mathematik ist Pascal vor allem für seine Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt. Wie Poisson es ausdrückte: „Das Problem des Glücksspiels, vor das der strenge Jansenist von Welt gestellt wurde, war der Ursprung der Wahrscheinlichkeitstheorie.“ Dieser weltliche Mann war der Chevalier de Mere, und der „strenge Jansenist“ war Pascal. Es wird angenommen, dass de Mere ein Spieler war. Tatsächlich interessierte er sich ernsthaft für die Wissenschaft. Wie dem auch sei, de Mere stellte Pascal die folgende Frage: Wie kann man das Stark zwischen den Spielern aufteilen, wenn das Spiel noch nicht vorbei ist? Die Lösung dieses Problems bot sich nicht mit allen bis dahin bekannten mathematischen Methoden an. Hier musste die Frage entschieden werden, nicht zu wissen, welcher der Spieler gewinnen könnte, wenn das Spiel fortgesetzt würde? Es ist klar, dass dies ein Problem war, das auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeit, den einen oder anderen Spieler zu gewinnen oder zu verlieren, gelöst werden musste. Aber bis dahin hatte kein Mathematiker jemals daran gedacht, nur wahrscheinliche Ereignisse zu berechnen. Es schien, dass das Problem nur eine mutmaßliche Lösung zuließ, das heißt, dass es notwendig war, die Wette völlig zufällig aufzuteilen, zum Beispiel durch Loswerfen, das bestimmt, wer den endgültigen Gewinn haben sollte. Es bedurfte der Genialität von Pascal und Fermat, um zu verstehen, dass es für Probleme dieser Art völlig eindeutige Lösungen gibt und dass „Wahrscheinlichkeit“ eine messbare Größe ist. Nehmen wir an, Sie möchten wissen, wie wahrscheinlich es ist, eine weiße Kugel aus einer Urne zu ziehen, die zwei weiße und eine schwarze Kugel enthält. Es gibt drei Bälle und es gibt doppelt so viele weiße wie schwarze Bälle. Es ist klar, dass es plausibler ist, bei der zufälligen Ziehung davon auszugehen, dass eine weiße Kugel gezogen wird, statt einer schwarzen. Es kann einfach passieren, dass wir die schwarze Kugel herausnehmen; Dennoch haben wir das Recht zu sagen, dass die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses geringer ist als die Wahrscheinlichkeit, einen Weißen auszuschalten. Wenn man die Anzahl der weißen Kugeln erhöht und eine schwarze Kugel übrig lässt, lässt sich leicht erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, sinkt. Wenn es also tausend weiße und eine schwarze Kugel gäbe und jemand darum bitten würde, darauf zu wetten, dass die schwarze statt der weißen Kugel gezogen wird, dann würde sich nur ein Verrückter oder ein Spieler dazu entschließen, einen signifikanten Betrag dafür zu setzen des Schwarzen. Kugel. Nachdem man das Konzept der Wahrscheinlichkeitsmessung verstanden hat, ist es leicht zu verstehen, wie Pascal das von de Mere vorgeschlagene Problem gelöst hat. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen Sie natürlich das Verhältnis zwischen der Anzahl der Fälle günstiger Ereignisse und der Anzahl aller möglichen Fälle (sowohl günstig als auch ungünstig) kennen. Das resultierende Verhältnis ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit. Wenn es also hundert weiße Bälle gibt und, sagen wir, zehn schwarze Bälle, dann gibt es insgesamt hundertzehn "Fälle", zehn davon zugunsten der schwarzen Bälle. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, 10 zu 110 oder 1 zu 11. Die beiden vom Chevalier de Méré vorgeschlagenen Aufgaben lauten wie folgt. Erstens: wie man herausfindet, wie oft man zwei Würfel werfen muss, um die höchste Punktzahl zu bekommen, also zwölf; die andere ist, wie man die Gewinne im Falle eines unvollendeten Spiels zwischen zwei Spielern verteilt. Die erste Aufgabe ist vergleichsweise einfach: Es muss ermittelt werden, wie viele verschiedene Kombinationen von Punkten es geben kann; nur eine dieser Kombinationen ist für das Ereignis günstig, alle anderen sind ungünstig, und die Wahrscheinlichkeit wird sehr einfach berechnet. Die zweite Aufgabe ist viel schwieriger. Beide wurden gleichzeitig in Toulouse von dem Mathematiker Fermat und in Paris von Pascal gelöst. Bei dieser Gelegenheit begann 1654 ein Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat, und da sie sich nicht persönlich kannten, wurden sie beste Freunde. Fermat löste beide Probleme mit Hilfe der von ihm erfundenen Theorie der Kombinationen. Pascals Lösung war viel einfacher: Er ging von rein arithmetischen Überlegungen aus. Nicht im Geringsten neidisch auf Fermat, freute sich Pascal im Gegenteil über die Übereinstimmung der Ergebnisse und schrieb: „Von nun an möchte ich Ihnen meine Seele öffnen, ich bin so froh, dass sich unsere Gedanken getroffen haben dass die Wahrheit in Toulouse und in Paris ein und dieselbe ist". Hier ist Pascals prägnante Lösung. Angenommen, sagt Pascal, dass zwei Spieler spielen und die Auszahlung endgültig ist, nachdem einer von ihnen drei Spiele gewonnen hat. Nehmen wir an, dass der Einsatz jedes Spielers 32 Chervonets beträgt und dass der erste bereits zwei Spiele gewonnen hat (es fehlt ihm eins) und der zweite eins gewonnen hat (es fehlen ihm zwei). Sie haben noch ein Spiel zu spielen. Wenn der erste gewinnt, erhält er den gesamten Betrag, dh 64 Chervonets; Wenn der zweite zwei gewinnt, werden die Chancen beider gleich, und im Falle einer Beendigung des Spiels sollten beide offensichtlich gleich sein. Wenn also der Erste gewinnt, erhält er 64 Dukaten. Wenn der Zweite gewinnt, erhält der Erste nur 32. Wenn also beide zustimmen, das kommende Spiel nicht zu spielen, hat der Erste das Recht zu sagen: Ich bekomme auf jeden Fall 32 Chervonets, auch wenn ich das kommende Spiel verliere , das wir als letztes anerkannten. Daher gehören die 32 Dukaten mir. Was die anderen 32 betrifft – vielleicht werde ich sie gewinnen, vielleicht wirst du es auch; Teilen wir daher diesen zweifelhaften Betrag in zwei Hälften. Wenn sich also die Spieler zerstreuen, ohne das letzte Spiel gespielt zu haben, muss der erste Spieler 48 Chervonets oder s, den gesamten Betrag, erhalten, der zweite 16 Chervonets oder, woraus klar hervorgeht, dass die Gewinnchancen des ersten von ihnen höher sind sind dreimal größer als die Sekunde (und nicht doppelt so groß, wie man mit oberflächlicher Überlegung meinen könnte). Etwas später wandten sich Pascal und Fermat der Wahrscheinlichkeitstheorie zu Heingens Christian Huygens (1629–1695). Er wurde über ihre Fortschritte auf dem neuen Gebiet der Mathematik informiert. Huygens schreibt das Werk „Über die Berechnungen im Glücksspiel“. Es erschien erstmals 1657 als Anhang zu den „Mathematischen Etüden“ seines Lehrers Schooten. Bis Anfang des XNUMX. Jahrhunderts blieben die „Etuden ...“ die einzige Anleitung zur Wahrscheinlichkeitstheorie und hatten großen Einfluss auf viele Mathematiker. In einem Brief an Schooten bemerkte Huygens: „Ich glaube, dass der Leser bei sorgfältigem Studium des Themas feststellen wird, dass er es nicht nur mit einem Spiel zu tun hat, sondern dass hier die Grundlagen einer sehr interessanten und tiefen Theorie gelegt werden. " Eine solche Aussage deutet darauf hin, dass Huygens die Essenz des behandelten Themas zutiefst verstanden hat. Es war Huygens, der das Konzept der mathematischen Erwartung einführte und es auf die Lösung des Problems der Aufteilung der Wette mit einer unterschiedlichen Anzahl von Spielern und einer unterschiedlichen Anzahl von fehlenden Spielen und auf Probleme im Zusammenhang mit dem Würfeln anwendete. Die mathematische Erwartung wurde zum ersten großen probabilistischen Konzept. Im XNUMX. Jahrhundert erschienen die ersten statistischen Arbeiten. Sie widmen sich hauptsächlich der Berechnung der Verteilung der Geburten von Jungen und Mädchen, der Sterblichkeit von Menschen unterschiedlichen Alters, der erforderlichen Anzahl von Menschen unterschiedlicher Berufe, der Höhe der Steuern, des Volksvermögens und des Einkommens. Dabei kamen Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie zum Einsatz. Diese Arbeit trug zu seiner Entwicklung bei. Halley, als er 1694 eine Sterbetafel erstellte, mittelte Beobachtungsdaten nach Altersgruppen. Seiner Meinung nach sind die vorhandenen Abweichungen „offenbar zufallsbedingt“, dass die Daten bei einer „wesentlich größeren“ Beobachtungszahl keine starken Abweichungen aufweisen würden. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat enorme Anwendungsmöglichkeiten in einer Vielzahl von Bereichen. Dadurch ermitteln beispielsweise Astronomen die wahrscheinlichen Fehler von Beobachtungen, Artilleristen berechnen die wahrscheinliche Anzahl von Granaten, die in einem bestimmten Gebiet einschlagen könnten, und Versicherungsgesellschaften berechnen die Höhe der Prämien und Zinsen für Lebens- und Sachversicherungen. Und in der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts wurde die sogenannte "statistische Physik" geboren, ein Zweig der Physik, der speziell die riesigen Ansammlungen von Atomen und Molekülen, aus denen jede Substanz besteht, unter dem Gesichtspunkt der Wahrscheinlichkeiten untersucht . Autor: Samin D. K.
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