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WICHTIGSTEN WISSENSCHAFTLICHEN ENTDECKUNGEN
Fermats letzter Satz. Geschichte und Wesen der wissenschaftlichen Entdeckung
Verzeichnis / Die wichtigsten wissenschaftlichen Entdeckungen In einem der Nachrufe von Pierre de Fermat heißt es: „Er war einer der bemerkenswertesten Köpfe unseres Jahrhunderts, ein solches Universalgenie und so vielseitig, dass es schwer wäre, all das zu glauben, wenn nicht alle Wissenschaftler seine außergewöhnlichen Verdienste würdigen würden das muss über ihn gesagt werden, um nichts in unserer Laudatio zu verpassen.“ Leider ist nicht viel über das Leben des großen Wissenschaftlers bekannt. Pierre Fermat (1601-1665) wurde im Süden Frankreichs in der Kleinstadt Beaumont-de-Lomagne geboren, wo sein Vater, Dominique Fermat, „zweiter Konsul“, also Assistent des Bürgermeisters, war. Dominique Fermat gab seinem Sohn eine sehr solide Ausbildung. In der Hochschule seiner Geburtsstadt erwarb Pierre gute Sprachkenntnisse: Latein, Griechisch, Spanisch, Italienisch. Anschließend schrieb er Gedichte in Latein, Französisch und Spanisch. Fermat war als feiner Kenner der Antike berühmt, er wurde zu schwierigen Stellen in den Ausgaben der griechischen Klassiker konsultiert. Pierre richtete jedoch die ganze Kraft seines Genies auf die mathematische Forschung. Doch die Mathematik wurde nicht zu seinem Beruf. Wissenschaftler seiner Zeit hatten nicht die Möglichkeit, sich ganz ihrer geliebten Wissenschaft zu widmen. Der Hof wählt die Rechtsprechung. In Orleans wurde ihm ein Bachelor-Abschluss verliehen. Seit 1630 zog Fermat nach Toulouse, wo er eine Stelle als Berater im Parlament (d.h. am Gericht) erhielt. Über seine anwaltliche Tätigkeit heißt es in der „Empfehlung“, er habe sie „mit großer Gewissenhaftigkeit und solchem Geschick ausgeübt, dass er als einer der besten Anwälte seiner Zeit berühmt wurde“. Zu Fermats Lebzeiten wurden seine mathematischen Arbeiten vor allem durch die umfangreiche Korrespondenz bekannt, die er mit anderen Wissenschaftlern führte. Die gesammelten Werke, die er immer wieder zu schreiben versuchte, wurden nie von ihm geschaffen. Ja, das ist nicht verwunderlich angesichts der harten Arbeit, die er vor Gericht leisten musste. Keine seiner Schriften wurde zu seinen Lebzeiten veröffentlicht, jedoch gab er einigen Abhandlungen ein völlig fertiges Aussehen, die den meisten seiner zeitgenössischen Gelehrten als Manuskript bekannt wurden. Neben diesen Abhandlungen blieb seine umfangreiche und äußerst interessante Korrespondenz erhalten. Im XNUMX. Jahrhundert, als es noch keine speziellen wissenschaftlichen Zeitschriften gab, spielte die Korrespondenz zwischen Wissenschaftlern eine besondere Rolle. Es stellte Aufgaben, berichtete über Methoden zu deren Lösung und diskutierte akute wissenschaftliche Fragen. Fermats Korrespondenten waren die größten Wissenschaftler seiner Zeit: Descartes, Etienne Pascal und Blaise Pascal, de Beesi, Huygens, Torricelli, Vallis. Briefe wurden entweder direkt an den Korrespondenten oder nach Paris an den Abbé Mersenne (ein Kommilitone von Descartes im College) geschickt; letzterer vervielfältigte sie und schickte sie an jene Mathematiker, die sich mit ähnlichen Fragen beschäftigten. Eine der ersten mathematischen Arbeiten von Fermat war die Restaurierung von zwei verlorenen Büchern von Apollonius "On Flat Places". Fermats großer Dienst an der Wissenschaft wird gewöhnlich in seiner Einführung einer infinitesimalen Größe in die analytische Geometrie gesehen, so wie es etwas früher getan wurde. Kepler über die Geometrie der Alten. Diesen wichtigen Schritt unternahm er 1629 in seinen Arbeiten über die größten und kleinsten Mengen, Arbeiten, die eine der wichtigsten Studienreihen Fermats eröffneten, die eines der größten Glieder in der Geschichte der Entwicklung nicht nur der höheren Analysis im Allgemeinen sind, sondern auch insbesondere auch die Analyse von Infinitesimalzahlen. Ende der zwanziger Jahre entdeckte Fermat Methoden zur Extrema- und Tangentenfindung, die aus heutiger Sicht auf eine Ableitungsfindung reduziert werden.1636 wurde die fertige Darstellung der Methode nach Mersenne übertragen, und jeder konnte sie bekommen mit ihm bekannt. Vor Fermat entwickelte der italienische Wissenschaftler Cavalieri systematische Methoden zur Berechnung von Flächen. Aber bereits 1642 entdeckte Fermat eine Methode zur Berechnung von Flächen, die durch beliebige „Parabeln“ und beliebige „Hyperbeln“ begrenzt sind. Er zeigte, dass die Fläche einer unbegrenzten Figur endlich sein kann. Fermat beschäftigte sich als einer der ersten mit dem Problem der Begradigung von Kurven, also der Berechnung der Bogenlänge. Es gelang ihm, dieses Problem auf die Berechnung einiger Bereiche zu reduzieren. Damit erhielt Fermats Begriff der "Fläche" einen sehr abstrakten Charakter. Probleme der Begradigung von Kurven wurden auf die Bestimmung von Flächen reduziert, die Berechnung komplexer Flächen mit Hilfe von Substitutionen auf die Berechnung einfacherer Flächen reduziert. Von diesem Bereich war es nur noch ein Schritt zum noch abstrakteren Begriff „Integral“. Fermat hat viele andere Errungenschaften. Er kam zuerst auf die Idee der Koordinaten und schuf die analytische Geometrie. Er befasste sich auch mit den Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Aber Fermat beschränkte sich nicht nur auf Mathematik, er studierte auch Physik, wo ihm die Entdeckung des Gesetzes der Lichtausbreitung in Medien zu eigen ist. Trotz des Mangels an Beweisen (nur einer von ihnen ist erhalten geblieben) ist es schwierig, die Bedeutung von Fermats Arbeit auf dem Gebiet der Zahlentheorie zu überschätzen. Ihm allein gelang es, aus dem Chaos der Probleme und Einzelfragen, die sich dem Forscher bei der Untersuchung der Eigenschaften ganzer Zahlen unmittelbar stellen, die Hauptprobleme herauszuarbeiten, die für die gesamte klassische Zahlentheorie von zentraler Bedeutung waren. Ihm gehört auch die Entdeckung einer leistungsstarken allgemeinen Methode zum Beweis zahlentheoretischer Sätze – der sogenannten Methode des unbestimmten oder unendlichen Abstiegs, die weiter unten besprochen wird. Daher kann Fermat zu Recht als Begründer der Zahlentheorie angesehen werden. In einem Brief an de Bessy vom 18. Oktober 1640 machte Fermat folgende Aussage: Wenn die Nummer а nicht durch Primzahl teilbar р, dann gibt es einen solchen Indikator кDass а - geteilt durch р, wobei k ein Teiler ist р-eines. Diese Aussage wird kleiner Satz von Fermat genannt. Sie ist grundlegend in jeder elementaren Zahlentheorie. Euler gab diesem Theorem mehrere verschiedene Beweise. Im zweiten Buch seiner Arithmetik stellte Diophantus die Aufgabe, ein gegebenes Quadrat als Summe zweier rationaler Quadrate darzustellen. Am Rand schrieb Fermat gegen diese Aufgabe: „Im Gegenteil, es ist unmöglich, weder einen Würfel in zwei Würfel noch ein Biquadrat in zwei Biquadrate und im Allgemeinen jede Potenz größer als ein Quadrat in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen. Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis dafür gefunden aber diese Felder sind ihm zu eng." Das ist der berühmte Große Satz. Dieses Theorem hatte ein erstaunliches Schicksal. Im letzten Jahrhundert hat ihre Forschung zur Konstruktion der subtilsten und schönsten Theorien in Bezug auf die Arithmetik algebraischer Zahlen geführt. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass es bei der Entwicklung der Zahlentheorie eine nicht geringere Rolle gespielt hat als das Problem der Lösung von Gleichungen in Radikalen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass letzteres bereits von Galois gelöst wurde und der Große Satz Mathematiker immer noch zum Forschen anregt. Andererseits führten die Einfachheit der Formulierung dieses Theorems und die kryptischen Worte über seinen „wundersamen Beweis“ zu einer weit verbreiteten Popularität des Theorems unter Nichtmathematikern und zur Bildung einer ganzen Vereinigung von „Fermatisten“, die in der Worte von Davenport, "haben einen Mut, der weit über ihre mathematischen Fähigkeiten hinausgeht." Daher steht der Große Satz in Bezug auf die Anzahl der ihm gegebenen falschen Beweise an erster Stelle. Fermat selbst hinterließ einen Beweis des Großen Satzes für die vierten Potenzen. Hier wandte er eine neue Methode an. Fermat schreibt: "Da die üblichen Methoden, die in Büchern zu finden sind, nicht ausreichten, um solch schwierige Sätze zu beweisen, fand ich schließlich einen ganz besonderen Weg, sie zu erreichen. Ich nannte diese Beweismethode unendliche oder unbestimmte Abstammung." Mit dieser Methode wurden viele Sätze der Zahlentheorie bewiesen, und insbesondere bewies Euler mit ihrer Hilfe den Großen Satz für n = 4 (auf eine etwas andere Weise als Fermats Methode) und 20 Jahre später für n = 3. Fermat beschrieb diese Methode in seinem Brief an Karkavy (August 1659) wie folgt: „Wenn es ein rechtwinkliges Dreieck in ganzen Zahlen gäbe, das eine Fläche gleich dem Quadrat hätte, dann gäbe es ein anderes Dreieck, kleiner als dieses, das dieselbe Eigenschaft hätte. Wenn es ein zweites gäbe, das kleiner als das erste wäre , die die gleiche Eigenschaft hätten, dann gäbe es aufgrund dieser Argumentation ein Drittel weniger als das zweite, das die gleiche Eigenschaft hätte, und schließlich eine vierte, eine fünfte, die ins Unendliche abfällt. Aber wenn a gegeben ist, dann gibt es keine, ich meine ganze Zahlen.) Daraus folgt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck mit quadratischer Fläche gibt. Fermat fährt fort, dass er nach langem Überlegen in der Lage war, seine Methode auf den Beweis anderer bejahender Sätze anzuwenden. „Aber um die Methode auf den Beweis anderer Sätze anzuwenden“, schreibt I. G. Bashmakova, „um beispielsweise zu beweisen, dass jede Zahl durch eine Summe von nicht mehr als vier Quadraten dargestellt werden kann, ist die Anwendung „neuer Prinzipien“ erforderlich. auf die Fermat nicht näher eingeht, Aufzählung aller Sätze, die Fermat mit der Abstiegsmethode bewiesen hat, einschließlich des großen Satzes für den Fall n = 3. Am Ende des Briefes äußert Fermat die Hoffnung, dass diese Methode sein wird nützlich für nachfolgende Mathematiker und zeigen ihnen, dass „die Alten nicht alles wussten“ „Leider wurde dieser Brief erst 1879 veröffentlicht besitzt auch den Beweis des Großen Satzes für n = 3. Erinnern Sie sich daran, dass der erste Versuch, die Unzerlegbarkeit der Kubikzahl einer natürlichen Zahl in die Summe zweier Kubikzahlen zu beweisen, um das Jahr 1000 im arabischen Osten unternommen wurde. In der Forschung zur diophantischen Analyse von A. Poincaré und A. Weyl begann die Abstiegsmethode wieder eine führende Rolle zu spielen. Gegenwärtig wird für die Anwendung dieser Methode der Höhenbegriff eingeführt, also eine solche natürliche Zahl, die in gewisser Weise jeder rationalen Lösung zugeordnet wird. Wenn es außerdem möglich ist zu beweisen, dass es für jede rationale Lösung der Höhe A eine andere Lösung der Höhe kleiner als A gibt, dann impliziert dies die Unlösbarkeit des Problems in rationalen Zahlen. Alle nachfolgenden algebraischen Zahlentheorie bis zu den Papieren Gauß entwickelt, ausgehend von Fermats Problemen. Im 5500. Jahrhundert erforderte die Forschung im Zusammenhang mit dem letzten Satz von Fermat und den Gesetzen der Reziprozität eine Erweiterung des Bereichs der Arithmetik. Kummer baute während der Arbeit an Fermats letztem Satz eine Arithmetik für algebraische ganze Zahlen einer bestimmten Art. Dies ermöglichte ihm den Beweis des Großen Satzes für eine bestimmte Klasse von Primzahlexponenten n. Derzeit ist die Gültigkeit des Großen Satzes für alle Exponenten n kleiner als XNUMX verifiziert. Wir bemerken auch, dass der Große Satz nicht nur mit der algebraischen Zahlentheorie verbunden ist, sondern auch mit der algebraischen Geometrie, die jetzt intensiv entwickelt wird. Aber der Große Satz in allgemeiner Form ist noch nicht bewiesen. Deshalb dürfen wir hier mit Recht das Aufkommen neuer Ideen und Methoden erwarten. Autor: Samin D. K.
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