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WICHTIGSTEN WISSENSCHAFTLICHEN ENTDECKUNGEN
Nichteuklidische Geometrie. Geschichte und Wesen der wissenschaftlichen Entdeckung
Verzeichnis / Die wichtigsten wissenschaftlichen Entdeckungen Auf Definition von Euklid Parallele Linien sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und sich nie treffen, egal wie weit wir sie verlängern. Aber schon die ältesten Kommentatoren von Euklid, Posidonius (II. Jahrhundert v. Chr.), Geminus (I. Jahrhundert v. Chr.), Ptolemäus (II. Jahrhundert n. Chr.) - betrachteten das fünfte Postulat von Euklid nicht als denselben Beweis wie andere Postulate und Axiome von Euklid , und versuchte, es entweder als Folge anderer Bestimmungen abzuleiten oder die von Euklid gegebene Definition der Parallele durch eine andere Definition zu ersetzen. In der zweiten Hälfte des XNUMX. Jahrhunderts Leibniz auch kritisch gegenüber den wichtigsten Bestimmungen von Euklid. Bekanntlich wollte er auch eine rein geometrische Analyse konstruieren, die die Eigenschaften des Ortes direkt ausdrückt, so wie die Algebra die Größe ausdrückt. Aber erst in der ersten Hälfte des XNUMX. Jahrhunderts kam die Idee auf, die Frage der Parallelen zu behandeln und in der Theorie der Parallelen den von griechischen Mathematikern so oft angewandten Widerspruchsbeweis systematisch durchzuführen. Diese brillante Idee stammte von Saccheri. In dem in seinem Todesjahr erschienenen Werk „Euklid, von jedem Ort erlöst“ geht Saccheri von einem Viereck aus, dessen zwei gegenüberliegende Seiten senkrecht zur Grundfläche einander gleich sind. In einem solchen Viereck sind die Winkel, die gleiche Seiten mit der der Grundfläche gegenüberliegenden Seite bilden, gleich, und der Beweis dieser Eigenschaft des Vierecks hängt nicht von Euklids Postulat ab. Wenn es sich um Geraden handelt, ist das Postulat von Euklid bewiesen, da in diesem Fall die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei rechten Winkeln ist. Aber Saccheri (und das ist seine ursprüngliche brillante Idee) stellt auch zwei andere Hypothesen auf – die Hypothese eines spitzen Winkels und die Hypothese eines stumpfen Winkels –, leitet aus diesen Hypothesen die sich daraus ergebenden Konsequenzen ab und versucht die Unmöglichkeit dieser Konsequenzen zu beweisen, d. h. die Zulässigkeit nur einer Hypothese eines rechten Winkels. Es gelingt ihm leicht zu beweisen, dass die Hypothese des stumpfen Winkels ungültig ist, da sie zu Widersprüchen führt. Um den gleichen Widerspruch in der Hypothese des spitzen Winkels zu finden, leitet er eine Reihe bemerkenswerter Theoreme ab, die später von Legendre erneut bewiesen wurden. Dies sind zum Beispiel die Sätze, nach denen, wenn die eine oder andere oder eine dritte Hypothese für ein Viereck gilt, sie auch für jedes andere gilt. Drei Jahre nach seinem Erscheinen, 1766, stellt Lambert das gleiche Problem wie Saccheri. Anstelle eines Vierecks mit zwei rechten Winkeln und zwei gleichen Seiten betrachtet Lambert ein Viereck mit drei rechten Winkeln und stellt drei Hypothesen über den vierten Winkel auf. Seine Darstellung weist gegenüber der von Saccheri einige Besonderheiten auf: Er vermeidet es, auf Kontinuitätsargumente zurückzugreifen. Aus der Tatsache, dass in den Hypothesen von stumpfem und spitzem Winkel keine Ähnlichkeit der Figuren besteht, leitet Lambert den Schluss auf die Existenz eines absoluten Maßes ab. 1799 der geniale Mathematiker Karl Gauß ging den Weg, den Saccheri und Lambert vor ihm gegangen waren - den Weg einer systematischen Ableitung aller Konsequenzen der Spitzwinkelhypothese. Aber seine Überlegungen führten zu Zweifeln an der Möglichkeit, Euklids Axiom zu beweisen, und 1816 war der Mathematiker davon überzeugt, dass ein solcher Beweis unmöglich sei. Die öffentliche Meinung von Gauß über die Unbeweisbarkeit von Euklids Axiom hatte keinen Einfluss und wurde sogar rüden Angriffen ausgesetzt. Dies war einer der Gründe, warum er sich entschloss, seine Forschungen und Gedanken zur Gründungsfrage „aus Furcht vor dem Schrei der Böoten“ (Brief an Bessel vom 27. Januar 1829) nicht zu veröffentlichen. Aber er unterbrach seine Forschungen nicht und begrüßte mit größtem Interesse und Sympathie diejenigen Arbeiten und Gedanken, die mit seinen Forschungen und Ansichten übereinstimmten. Wie weit er auf diesem Weg ging, zeigt sein Brief an Wolfgang Bolyai vom 6. März 1832, in dem Gauß sagt, er habe zwischen 1797 und 1802 die Ergebnisse gefunden, zu denen Johann Bolyai gelangt sei. Zum Beispiel ein rein geometrischer Beweis des Satzes, dass in der nichteuklidischen Geometrie die Differenz der Summe der Winkel eines Dreiecks von 180 Grad proportional zur Fläche des Dreiecks ist. Wolfgang Bolyai, ein Schulfreund von Gauß, zeigte großes Interesse an der Theorie der parallelen Linien. Dieses außerordentliche Interesse vergiftete ihn laut seinem Brief an seinen Sohn im Jahr 1820 alle Freuden des Lebens, machte ihn zum Märtyrer des Wunsches, die Geometrie von Flecken zu befreien, „die Wolke zu entfernen, die die Schönheit der jungfräulichen Wahrheit verdunkelt“. Aber während die Bemühungen seines Vaters fast sein ganzes Leben lang auf den Beweis des 5. Postulats gerichtet waren und er das Ziel nicht erreichte, war sein talentierter Sohn einer der Schöpfer der nicht-euklidischen Geometrie. Johann Bolyai wurde 1802 in Klausenburg geboren. Bereits 1807 schrieb sein Vater mit Freude und Stolz an Gauß über die außergewöhnlichen mathematischen Fähigkeiten des Jungen, der mit dreizehn Jahren bereits Planimetrie, Stereometrie, Trigonometrie, Kegelschnitte studiert hatte und mit 14 Jahren bereits löste Probleme der Differential- und Integralrechnung mit Leichtigkeit. Wolfgang versäumte es, seinen Sohn mit dem „mathematischen Koloss“ zum Studium nach Göttingen zu schicken, und Johann trat 1818 in die Wiener Ingenieurakademie ein, wo der höheren Mathematik viel Aufmerksamkeit geschenkt wurde. 1823 schloss er sein Studium an der Akademie ab und wurde als Militäringenieur zur Festung Temetvar geschickt. Es ist ganz natürlich, dass Johann, der über außergewöhnliche mathematische Fähigkeiten verfügte, fast als Junge beschloss, sich an der Lösung des Problems zu versuchen, das seinen Vater quälte, von dem sein Vater ihm jedoch sagte, dass jeder, der es löste, eines Diamanten würdig war die Größe des Globus. 1820 teilt Johann seinem Vater mit, dass er bereits einen Weg gefunden habe, das Axiom zu beweisen, und dann schreibt ihm sein Vater einen hitzigen Brief, in dem er ihn davor warnt, sich auf die Theorie der parallelen Linien einzulassen. In einer Winternacht des Jahres 1823 fand er diese grundlegende Beziehung zwischen der Länge einer Senkrechten, die von einem Punkt zu einer geraden Linie fällt, und dem Winkel, den die Asymptote (parallele Linie) mit dieser Senkrechten bildet Lobatschewski), was der Schlüssel zur nichteuklidischen Trigonometrie ist. Begeistert von seiner Entdeckung, die ihm den Weg zum Beweis von Axiom XI zu ebnen schien, schreibt er am 3. November aus Temetvar an seinen Vater: „Ich habe aus dem Nichts eine neue, andere Welt erschaffen, aus allem, was ich bisher geschickt habe ist nur ein Kartenhaus im Vergleich zu dem Turm, der gerade errichtet wird." 1829 vollendete Wolfgang einen großen mathematischen Aufsatz, an dem er etwa zwanzig Jahre arbeitete. Als Anhang zu diesem Buch wurde auch das unsterbliche Werk von Johann Boliai veröffentlicht. Natürlich ahnte Boliai nicht, dass zur gleichen Zeit im fernen Kasan Lobatschewski sein erstes Werk "Über die Prinzipien der Geometrie" (1829) veröffentlichte. Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792–1856) wurde im Bezirk Makaryevsky in der Provinz Nischni Nowgorod geboren. Sein Vater bekleidete die Stelle eines Bezirksbaumeisters und gehörte zu den kleinen Beamten, die ein mageres Gehalt erhielten. Die Armut, die ihn in den ersten Lebenstagen umgab, verwandelte sich in Armut, als 1797 sein Vater starb und seine 1802-jährige Mutter mittellos mit den Kindern zurückblieb. XNUMX brachte sie drei Söhne nach Kasan und wies sie dem Kasaner Gymnasium zu, wo die phänomenalen Fähigkeiten ihres mittleren Sohnes schnell auffielen. Als 1804 die Oberstufe des Kasaner Gymnasiums in eine Universität umgewandelt wurde, wurde Lobatschewski in die Zahl der Studenten der naturwissenschaftlichen Fakultät aufgenommen. Der junge Mann lernte brillant. Lobachevsky erhielt eine hervorragende Ausbildung. Vorlesungen über Astronomie wurden von Professor Litroff gelesen. Er hörte Vorlesungen über Mathematik von Professor Bartels, einem Schüler eines so bedeutenden Wissenschaftlers wie Carl Friedrich Gauß. Bereits 1811 erhielt Lobachevsky einen Master-Abschluss und wurde an der Universität zurückgelassen, um sich auf eine Professur vorzubereiten. 1814 erhielt Lobatschewski den Titel eines Associate of Pure Mathematics und wurde 1816 zum Professor ernannt. Ab 1819 lehrte Lobatschewski Astronomie. Die Verwaltungstätigkeit des Wissenschaftlers begann 1820, als er zum Dekan gewählt wurde. Trotz der anstrengenden praktischen Tätigkeit, die keinen einzigen Moment der Ruhe ließ, unterbrach Lobatschewski nie sein wissenschaftliches Studium und veröffentlichte während seiner Rektorschaft seine besten Arbeiten in den Wissenschaftlichen Aufzeichnungen der Kasaner Universität. Wenn Johann Bolyai unter dem Einfluss seines Vaters begann, die Theorie der parallelen Linien zu studieren, konnte Lobatschewski nur damit beginnen, weil das Interesse an dieser Theorie besonders Ende des XNUMX. und Anfang des XNUMX. Jahrhunderts wiederbelebt wurde. Am fünfundzwanzigsten Jahrestag, der dem Erscheinen von Lobatschewskis erstem Werk vorausging, verging kein Jahr, ohne dass ein oder mehrere Werke über die Theorie der Parallellinien erschienen. Bis zu 30 Werke sind bekannt, die von 1813 bis 1827 nur in deutscher und französischer Sprache gedruckt wurden. Legendres Arbeit weckte auch unter russischen Mathematikern das Interesse an der Theorie der Parallelen. Der erste Akademiker aus Russland, der sich mit seinen veröffentlichten Werken einen ehrenvollen Platz in der Geschichte des russischen Mathematikunterrichts verdient hat, CE. Guryev widmete in seinem wichtigsten Werk An Essay on the Improvement of the Elements of Geometry, das 1798 veröffentlicht wurde, der Theorie paralleler Linien und den von Legendre gegebenen Beweisen besondere Aufmerksamkeit. Guriev kritisiert diese Beweise und bietet seine eigenen an. Ausgehend von der Behauptung, dass sich scheinbar parallele Linien unter bestimmten Bedingungen schneiden können, kam Lobatschewski zu dem Schluss, dass es möglich ist, eine neue, konsistente Geometrie zu schaffen. Da seine Existenz in der realen Welt nicht vorstellbar war, nannte der Wissenschaftler es "imaginäre Geometrie". Aber er kam, ebenso wie I. Boliai, nicht sofort auf diese Idee. Die Vorlesungen von 1815–1817, das Lehrbuch der Geometrie von 1823 und die nicht überlieferte „Exposition succincte des principes de la Geometrie“, verlesen auf einer Sitzung der Fakultät für Physik und Mathematik am 12. Februar 1826 – diese sind die drei Stufen von Lobatschewskis Denken auf dem Gebiet der Theorie paralleler Linien. In Vorlesungen gibt er drei verschiedene Möglichkeiten an, dies zu rechtfertigen; in einem Lehrbuch von 1823 erklärt er, alle bisher gegebenen Beweise verdienten es nicht, im vollen Sinne der Mathematik gewürdigt zu werden, und schließlich gibt er drei Jahre später jenes System zur Konstruktion der Geometrie bereits an anderer Stelle als Euklids Postulat an , die seinen Namen verewigte. "Exposition" hat uns nicht erreicht. Das erste gedruckte Werk von Lobatschewski, das er einen Auszug aus der Ausstellung nennt, wurde 1829-1830 im Kazan Vestnik veröffentlicht. Dieses Datum begründet den Vorrang der Veröffentlichung von Lobatschewskis Entdeckung im Vergleich zu I. Boliai, da dessen „Anhang“ 1831 veröffentlicht wurde und erst 1832 vergriffen war. Wie der Titel „Exposition“ zeigt, hatte sie nicht nur die exakte Theorie der Parallelen zum Gegenstand, sondern widmete sich auch der Frage nach den Prinzipien der Geometrie. Obwohl sowohl I. Boliai als auch Lobachevsky für diese Entdeckung zu Mitgliedern der Hannoverschen Akademie der Wissenschaften gewählt wurden, war es Lobatschevskys Geometrie, die in Westeuropa Bürgerrechte erhielt. 1837 wurden Lobatschewskis Werke auf Französisch veröffentlicht. 1840 veröffentlichte er in deutscher Sprache seine Theorie der Parallelen, die die Anerkennung des großen Gauß verdiente. In Russland sah Lobatschewski keine Bewertung seiner wissenschaftlichen Arbeiten. Offensichtlich überstieg Lobatschewskis Forschung das Verständnis seiner Zeitgenossen. Einige ignorierten ihn, andere begrüßten seine Arbeit mit grobem Spott und sogar mit Schelten. Während unser anderer hochtalentierter Mathematiker Ostrogradski genoss wohlverdienten Ruhm, niemand kannte Lobachevsky; Ostrogradsky selbst behandelte ihn entweder spöttisch oder feindselig. Ganz richtig, oder vielmehr gründlich, nannte ein Geometer Lobatschewskis Geometrie Sterngeometrie. Man kann sich eine Vorstellung von unendlichen Entfernungen machen, wenn man sich vor Augen führt, dass es Sterne gibt, von denen seit Jahrtausenden Licht auf die Erde gelangt. Die Geometrie von Lobatschewski schließt also die Geometrie von Euklid nicht als besonderen, sondern als Sonderfall ein. In diesem Sinne kann die erste eine Verallgemeinerung der uns bekannten Geometrie genannt werden. Nun stellt sich die Frage, besitzt Lobatschewski die Erfindung der vierten Dimension? Gar nicht. Die Geometrie von vier und vielen Dimensionen wurde von dem deutschen Mathematiker, einem Schüler von Gauß, Riemann geschaffen. Das Studium der Eigenschaften von Räumen in allgemeiner Form bildet nun die nichteuklidische Geometrie oder die Geometrie von Lobatschewski. Der Lobatschewski-Raum ist ein dreidimensionaler Raum, der sich von unserem dadurch unterscheidet, dass das Postulat von Euklid darin nicht stattfindet. Die Eigenschaften dieses Raums werden nun verstanden, indem man eine vierte Dimension annimmt. Aber dieser Schritt gehört bereits den Anhängern von Lobatschewski. Natürlich stellt sich die Frage, wo so ein Raum ist. Die Antwort darauf gab der größte Physiker des XNUMX. Jahrhunderts Albert Einstein. Basierend auf den Arbeiten von Lobachevsky und Riemanns Postulaten schuf er die Relativitätstheorie, die die Krümmung unseres Raums bestätigte. Nach dieser Theorie krümmt jede materielle Masse den umgebenden Raum. Einsteins Theorie wurde wiederholt durch astronomische Beobachtungen bestätigt, wodurch deutlich wurde, dass die Geometrie von Lobatschewski eine der grundlegenden Ideen über das uns umgebende Universum ist. Autor: Samin D. K.
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